Reicht das als Begründung für einen Gruppenisomorphismus?

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die Gruppen \( G \) und \( H \) isomorph sind:

- \( G=\left(\mathbb{Z}_{6},+\right) \) und \( H=\left(\mathbb{Z}_{7}^{*}, \cdot\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich habe als Ansatz die jeweiligen Addtions-/Multiplikationstabellen aufgestellt, ich meine daran kann man doch erkennen ob Gruppen isomorph sind. Dabei betrachte ich die konstruierte Abbildung x auf 2^x, wenn ich dann die Zeilen/Spalten Ergebniss auf abbilde dann erhalte ich den gleichen Wert. Reicht das als Begründung für einen Gruppenisomorphismus?

Comments

Ich meine nicht, dass die Abbildung \((\Z_6,+)\to(\Z_7^*,\cdot),\ x\mapsto 2^x\) ein Isomorphismus ist.

Answer 1

Deine Idee, eine Exponentialabbildung zu benutzen, ist sehr gut.

Die Homomorphieeigenschaft ergibt sich dann automatisch aus der Additionsregel für Exponenten.

Du musst aber eine Basis wählen, sodass die Abbildung injektiv ist. Das ist bei der Basis 2 nicht gegeben, denn

\(2^0 \equiv 2^3 \equiv 1 \mod 7\)

Als Basis wählst du eine Primitivwurzel modulo 7 - also entweder 3 oder 5.

Die Additions-/Multiplikationstabellen der jeweiligen Gruppen aufzuschreiben, hilft hier nicht.

Comments

Wie genau beweise ich das mit der Basis oder darf ich einfach ausprobieren und sagen klappt für diesen Wert?

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Kommt darauf an, ob Primwurzeln schon als bekannt vorausgesetzt werden dürfen. Wenn nicht, dann kann man schnell die Potenzen von z. Bsp. 3 mod 7 hinschreiben.