Untersuche auf Äquivalenzrelation

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Relationen auf Symmetrie, Reflexivität und Transitivität.

Sei M = Mat(n,R) und auf M sei die Relation ∼ definiert durch A ∼ B genau dann, wenn eine invertierbare Matrix C ∈ Mat(n, R) existiert, so dass CA = BC.

Sei M = Mat(3,R) und auf M sei die Relation ∼ definiert durch A ∼ B genau dann, wenn eine von der Nullmatrix verschiedene Matrix C ∈ Mat(3, R) existiert, so dass CA = CB = 0.

Problem/Ansatz:

Meine Idee war, dass 1. reflexiv ist. Bei den anderen Sachen bin ich ein wenig Überfragt. Wäre für jede Hilfe oder jeden Ansatz sehr dankbar. Ich weiß prinzipiell wie man vorgeht, allerdings stehe ich bei diesen Aufgaben auf dem Schlauch.

Answer 1

1. reflexiv: Da ist zu prüfen, ob für alle A∈M = Mat(n,R)

eine invertierbare Matrix C ∈ Mat(n, R) existiert, so dass CA = AC.

Ja, C=Einheitsmatrix, also erfüllt.

symmetrisch: Da ist zu prüfen, ob für alle A,B∈M gilt

A~B ==>   B~A
Wenn eine invertierbare Matrix C ∈ Mat(n, R) existiert, so dass CA = BC.

==>     AC^(-1) = C^(-1)B . Die Matrix C^(-1)  ist also die gesuchte.

Also "symmetrisch" erfüllt.

transitiv: kurz so:  CX = YC. und  DY = ZD = Y=D^(-1)ZD einsetzen:

                      ==>  CX = D^(-1)ZDC

                          ==>  DCX = ZDC   und DC ist auch invertierbar.

Also auch "transitiv" erfüllt.