Zeigen Sie, dass V eine Basis B mit B ⊂ E besitzt.

Question

Aufgabe:

Sei E = {v₁,...,v_m} Erzeugendensystem eines K-Vektorraum V. Zeigen Sie, dass V eine Basis B mit B ⊂  E besitzt.

Ansatz:

Ich hätte mir folgendes überlegt:

1. Fall: Sei E linear unabhängig → E ist Basis von V

Also ist B ⊆ E

2. Fall: Sei E linear abhängig:

Da E linear abhängig ist gibt es mindestens einen Vektor v`∈ V, der als Linearkombination dargestellt werden kann.

D.h ∃v´∈ E:v´= \( \sum \limits_{i=1}^{n} \) λ_iv_i (Ich hoffe, dass ich das so anschreiben kann)

Das bedeutet ja, dass E ohne diese v´ die Basis sein müsste oder? Ist das überhaupt eine vernünftige Herangehensweise?

So wäre ich zumindest vorgegangen. Ich würde mich über jede Antwort freuen. :)

Answer 1

Das bedeutet ja, dass E ohne diese v´ die Basis sein müsste oder?

Nein, das bedeutet nur, dass man das v' weglassen kann und immer noch

ein Erzeugendensystem hat.

Da es nur endlich viele v's gibt, kannst du das im Falle, dass nach dem Weglassen

immer noch lineare Abhängigkeit herrscht nochmal wiederholen, und hast

nach endlich vielen ein linear unabhängiges Erz.system, also eine Basis.

Falls alle v's gleich dem Nullvektor sind, kommst du so auf die leere Menge,

Das ist eine Basis des Nullraumes.

Comments

Danke für die Antwort!

Ich verstehe, was du meinst. Wie könnte ich das formulieren, dass daraus ein vernünftiger Beweis entsteht, der zeigt, dass B ⊂  E? Könnte ich meine v´s als eine Familie von Vektoren definieren und somit zeigen, dass B gleich E ohne der Familie v` ist?

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Na wenn du sukzessive ein v aus E herausnimmst, dann ändert

das ja ( wie oben gezeigt) nichts an der Erzeugendeneigenschaft,

aber es entsteht doch immer eine Teilmenge von E.