Wie bestimme ich eine explizite Formel für an?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( a_{0}:=0, \quad a_{1}:=4, \quad a_{n}:=2 a_{n-1}+3 a_{n-2} \) für \( n \geq 2 \).

Problem/Ansatz:

Die Folge an ist rekursiv definiert. Wie bestimme ich eine explizite Formel für an?

Answer 1

Die zugehörige quadratische Gleichung \(x^2-2x-3=0\) hat die Lösungen \(a=-1,\, b=3\). Damit hat die explizite Formel die Form

\(x_n=c_1a^n+c_2b^n\) mit Konstanten \(c_1,c_2\), die man mittels LGS aus den Anfangsbedingungen bestimmt.