Aufgabe: Gegeben ist
cos(x) := \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \)
sin(x) := \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}} \)
Zeigen Sie durch Multiplikation von Reihen das Additionstheorem des Kosinus:
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) für alle x, y ∈ R.
Hinweis: \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n} = \sum\limits_{n=1}^\infty{a_{n-1}} \)
Problem/Ansatz:
Hallo! Ich ärgere mich schon seit einigen Tagen mit dieser Aufgabe herum. Mein Ansatz war, einfach cos(x)*sin(y)-sin(x)*sin(y) als Multiplikation von den Reihen zu schreiben und zu hoffen, dass am Ende cos(x+y) dabei herauskommt. Leider bin ich nur bis zu dem Schritt:
\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \cdot \frac{(x+y)^{2n-2}}{(2n-2)!}} - \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \cdot \frac{(x+y)^{2n}}{(2n)!}} \)
Jetzt komme ich leider nicht mehr weiter. Es wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte.
LG
