\( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}+1} = \frac{1}{2}\)
Im Nenner hast du ja \( \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}} \). Für x gegen unendlich geht das gegen 1 und dann liefern die Grenzwertsätze \( \frac{1}{1+1}= 0,5 \).
Und zu \( \lim \limits_{x \rightarrow \xi} \frac{x^{k}-\xi^{k}}{x-\xi}=k \xi^{k-1} \) betrachte
\( x^{k}-\xi^{k} = (x-\xi )( x^{k-1} + x^{k-2}\xi+ x^{k-3}\xi^2 \dots +\xi^{k-1} ) \)
Die erste Klammer kürzt sich weg und die 2. Klammer liefert für \(x \rightarrow \xi\) alles Summanden von Wert \( \xi^{k-1}\).
Das sind k Stück. Also gilt \( \lim \limits_{x \rightarrow \xi} \frac{x^{k}-\xi^{k}}{x-\xi}=k \xi^{k-1} \)
