Numerische Differentialrechnung mithilfe der gegebenen Formel berechnen

Question

Aufgabe:

Formel aus lecture 10:

Text erkannt:

\( f^{(n)} \approx P_{n}^{(n)}=\sum \limits_{i=0}^{n} y_{i} \frac{(-1)^{n-i}}{h^{n}}\left(\begin{array}{l}n \\ i\end{array}\right) \)

Text erkannt:

\( f^{(n)}=P_{n}^{(n)}=\sum \limits_{i=0}^{n} y_{i} \frac{(-1)^{n-i}}{h^{n}}\left(\begin{array}{c}n \\ i\end{array}\right) \)

Problem:

Ich verstehe a) nicht.

Answer 1

Wenn einem sonst nichts einfällt, einfach mal die Summe ausrechnen. Das liefert: \(\frac1{h^2}(y_0-2y_1+y_2)\), was mit der Bezeichnung (die hier fehlt) \(y_i=f(x+i\,h)\) eine Standarddifferenzenformel für \(f''(x)\) liefert. Möglicherweise ist \(y_i\) auch anders definiert - nachschlagen!

Comments

in meinen Unterlagen steht yi = f(xi)

Ich hatte einfach die summe ausgerechnet und für yo, y1 und y2 einfach die Funktion ganz oben eingesetzt. Aber ich verstehe nicht was mir diese Annäherung bringt (mit h^2 drin?)

---

Text erkannt:

10) \( f(x)=x e^{x}+\cos \left(x^{2}\right) \).
a) \( f^{(n)} \approx p_{n}^{(n)}=\sum \limits_{i=0}^{n} y_{i} \frac{(-1)^{n-i}}{h^{n}}\left(\begin{array}{l}n \\ i\end{array}\right) \)
\( \begin{array}{l} f^{(2)} \approx p_{2}^{(2)}=\sum \limits_{i=0}^{2} y_{i} \frac{(-1)^{2-i}}{h^{2}}\left(\begin{array}{l} 2 \\ i \end{array}\right) \\ \Leftrightarrow f^{(2)}(x)=y_{0} \frac{(-1)^{2-0}}{h^{2}}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array}\right)+y_{1} \frac{(-1)^{2-1}}{h^{2}}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right)+y_{2} \frac{(-1)^{2-2}}{h^{2}}\left(\frac{z}{2}\right) \\ \Leftrightarrow f^{(2)}(x)=\left(x_{0} e^{x_{0}}+\cos \left(x_{0}^{2}\right)\right) \cdot \frac{(-1)^{2}}{h^{2}}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array}\right) \\ +\left(x_{1} e^{x_{1}}+\cos \left(x_{1}^{2}\right)\right) \cdot \frac{(-1)^{1}}{h^{2}}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \\ +\left(x_{2} e^{x_{2}}+\cos \left(x_{2}^{2}\right)\right) \cdot \frac{(-1)^{0}}{h^{2}}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \\ \Leftrightarrow \quad f^{(2)}(x)=\frac{x_{0} e^{x_{0}}+\cos \left(x_{0}{ }^{2}\right)}{h^{2}}-\frac{2\left(x_{1} e^{x_{1}}+\cos \left(x_{1}{ }^{2}\right)\right.}{h^{2}} \\ +\frac{x_{2} e^{x_{2}}+\cos \left(x_{2}^{2}\right)}{h^{2}} \\ \end{array} \)

Das war mein Ansatz

---

Wenn Du es selbst schon ausgerechnet hast, dann füg bitte nächstes Mal gleich Deine Rechnung bei und lass uns nicht unnötig selbst rechnen.

Oben hast Du noch \(f''(x)\approx P_2''\) geschrieben, danach wird es bei Dir zu \(f''(x)= P_2''\), was falsch ist.

Und warum Du direkt die \(y_i\) einsetzt, weiß ich auch nicht, wird dadurch nur viel Schreiberei, unübersichtlich und fehleranfällig. Es reicht, das ganz am Ende einzusetzen.

Was Näherungsformeln für Ableitungen bringen, wäre Stoff für mehrere Vorlesung. Dazu ist auch bestimmt was gesagt worden.

In a) ist nur verlangt, die Formel herzuleiten. Das ist erledigt.

In b) sollen konkrete \(x_i\) eingesetzt werden und in c) die Fehler an zwei konkreten x-Stellen, wobei mir da die Angabe von h fehlt.

---

Vielen Dank für die Rückmeldung. Also ist meine Lösung bis auf das "=" korrekt?

Das "h" darf also in der Lösung stehen bleiben? Auch für b) ?

---

Zu a): Ja. Eigentlich. Ich finde allerdings die Formulierung etwas merkwürdig: "...approximation depending only on the nodes for f''(x)...". Soll das heißen "...approximation for f''(x) depending only on the nodes"? Und wenn da "the nodes" steht, dann: welche denn? Sind irgendwo drüber welche erwähnt? Das würde erklären, warum hier kein h angegeben ist.

Zu b): Hier sollen die exakten Ableitungswerte berechnet werden, da ist wenigstens eindeutig, was zu tun ist. Und man braucht kein h.

---

Ne, es sind für Aufgabe 10 keine Nodes angegeben. Ich hatte das so verstanden, dass man eine Formel für alle Nodes finden soll und dann in B) die Nodes xi=... in die Formel aus a) ensetzt. Aber dann hätte man bei b) im Ergebnis immer noch das h) stehen?

Text erkannt:

\( +\left(x_{2} e^{x_{2}}+\cos \left(x_{2}^{2}\right)\right) \cdot \frac{(--)^{0}}{h^{2}}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \)
\( \begin{array}{l} f^{(2)}(x) \approx \frac{x_{0} e^{x_{0}}+\cos \left(x_{0}^{2}\right)}{h^{2}}-\frac{2\left(x_{1} e^{x_{1}}+\cos \left(x_{1}^{2}\right)\right.}{h^{2}} \\ +\frac{x_{2} e^{x_{2}}+\cos \left(x_{2}^{2}\right)}{h^{2}} \end{array} \)
b)
\( \begin{array}{l} x_{i}=i \frac{4}{2}, i=0,1,2 \\ f^{(2)}(x) \approx \frac{1}{h^{2}}-\frac{13.5501}{h^{2}}+\frac{71.7959}{h^{2}} \\ \approx \frac{59.2458}{h^{2}} \end{array} \)

---

Und was ist dabei x?

Egal, was man an a) kritisiert, in b) ist die Aufgabenstellung eindeutig (s.o.). Meine ich. Da steht ja nichts von Approximationen. Allerdings "formulate f''(x)"...?

Ganz sicher kann man nicht sein. Alles merkwürdig

---

Oh stimmt. Kann ich bei b) denn einfach das Newtonsche Polynom für die Punkte bestimmen und dann das Polynom ableiten?

---

Da steht doch klar \(f^{(2)}\), also ist \(f\) abzuleiten und sonst nichts. Du musst schon genau lesen, sonst wird diese verwirrende Aufgabe noch undurchsichtiger.

Grob sieht es so aus:

a) Näherungen berechnen (oder nur "formulieren")

b) exakte Werte berechnen (hier kommen jedenfalls Zahlen raus)

c) Fehler berechnen.

Allerdings passen die x-Werte in c) ja nicht zu denen aus b).