Integralrechnung A, B, C finden, Partialbrüche

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie A, B, C ∈ ℝ mit

\( \frac{2x+2}{x(x^2+1)} \) = \( \frac{A}{x} \) + \( \frac{Bx+C}{x^2+1} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich hier vorgehen soll. In der Uni hatten wir das erstens nicht mit x^3 bzw. x(x^2+1) und auch nicht mit drei Unbekannten A, B und C. Ich habe versucht es zu machen, wie wir gelernt haben:

Wir haben es so gelernt, dass wir erstmal die Mitternachtsformel anwenden sollen, um es in mehrere Brüche aufzuteilen aber wenn ich das richtig verstehe, wurde das hier für uns schon getan. Ich hatte auch einen Versuch den rechten Bruch nochmal aufzuteilen, aber das geht ja nicht weil \( \sqrt{b^2- 4ac} \) ja < 0 ist.

Dann habe ich es so versucht, wie wir es sonst immer gemacht haben:

Also jeweils den Zähler mit dem Nenner mal genommen, also \( \frac{A(x^2+1)}{x} \) + \( \frac{(Bx+C)x}{x^2+1} \), dann versucht zu vereinfachen und versucht, durch Koeffizientenvergleich zu lösen, was aber zu keiner Lösung geführt hat, die Sinn macht. Ich denke auch man darf das so nicht machen. Ein Problem, dass ich auch hab, ist, dass ich nicht weiß wofür das A, B und C steht.
Steht das A für den Koeffizient vor x^2, den es hier nicht gibt und Bx für den vor x usw.?

Würde mich freuen wenn mir jemand helfen kann.

Comments

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

Answer 1

\( \frac{2x+2}{x(x^2+1)}  =  \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} \)

\( \frac{2x+2}{x(x^2+1)}  =  \frac{A(x^2+1)+(Bx+C)x}{x(x^2+1)} \)

\( 2x+2 =  Ax^2+A+Bx^2+Cx = (A+B)x^2+A+Cx  \)

Also berechne ABC mit

A+B=0  und A=2    und C=2

Comments

Steht das A für den Koeffizient vor x^2, den es hier nicht gibt und Bx für den vor x usw.?

A, B C sind durch die Zähler der Brüche vorgegeben.

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Danke erstmal.
Kannst du mir aber erklären, was genau du beim Kommentar meinst?

"A, B C sind durch die Zähler der Brüche vorgegeben." Das verstehe ich nicht so richtig.

Answer 2

Dein Ansatz ist soweit richtig, die Variablen \(A, B\) und \(C\) musst du jetzt entsprechend des Koeffizientenvergleichs berechnen. Die Nenner auf der rechten Seite sind allerdings falsch, weil man hier nicht mit dem jeweils anderen Nenner multipliziert, sondern erweitert! Mache dir bitte den Unterschied klar. Du kannst dann die Brüche auf einen Nenner schreiben und den Koeffizientenvergleich durchführen, nachdem du den Zähler vereinfach hast, sprich ausmultiplizieren und zusammenfassen. Warum hat das nicht funktioniert? Da auf der linken Seite kein \(x^2\) vorkommt, muss folglich der Koeffizient auf der rechten Seite gleich 0 sein. Genauso kannst du fortfahren. Du erhältst in der Regel ein lineares Gleichungssystem, was du mit einem Verfahren deiner Wahl lösen können solltest. Du Variablen selbst sind nicht die Koeffizienten. Was genau vor \(x\) etc. steht, siehst du erst, wenn du den Zähler vereinfacht hast.

Lade gerne deine Versuche hoch.

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Da auf der linken Seite kein \(x^2\) vorkommt, muss folglich \(A=0\) sein.

Sicher ?

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wenn ich das richtig verstanden habe meinst du, dass ich die beiden brüche dann zusammenfügen muss, wenn ich es oben mal nehme oder? wie ich das hier gemacht habe war falsch

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Da auf der linken Seite kein \(x^2\) vorkommt, muss folglich \(A=0\) sein.

Das stimmt natürlich nicht. Da war ich ein wenig zu voreilig. ;)

Answer 3

\(\begin{aligned} \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1} & =\frac{A\cdot\left(x^{2}+1\right)}{x\cdot\left(x^{2}+1\right)}+\frac{\left(Bx+C\right)\cdot x}{\left(x^{2}+1\right)\cdot x}\\ & =\frac{A\cdot\left(x^{2}+1\right)+\left(Bx+C\right)\cdot x}{x\cdot\left(x^{2}+1\right)}\\ & =\frac{Ax^{2}+A+Bx^{2}+Cx}{x\cdot\left(x^{2}+1\right)}\\ & =\frac{\left(A+B\right)x^{2}+Cx+A}{x\cdot\left(x^{2}+1\right)} \end{aligned}\)

Koeffizientenvergleich liefert das LGS

\(\begin{aligned}A+B\phantom{+C}&=0\\C&=2\\A\phantom{+B+C}&=2\end{aligned}\)

Comments

vielen dank, dann war es sogar richtig was ich gemacht habe, mich hat es nur verwundert, dass dort dann Cx steht obwohl, oben in der Aufgabe C ohne x dran steht.

Heißt das dann, dass sich die Unbekannten A,B und C sozusagen vertauschen können? Weil ich hatte nämlich gedacht dass A für den Koeffizient vor x^2 steht B für den vor x, usw. Macht das Sinn was ich sage? Keine Ahnung.

und B wäre dann ja logischerweise -2, oder?

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Wenn man Brüche addiert müssen sie

ja erweitert werden auf gemeinsamen Nenner.

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Die Idee ist, den Ausdruck

        \(\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}\)

in die Form

        \(\frac{p(x)}{x\cdot(x^2+1)}\)

zu bringen. Dazu muss nun mal der Bruch \(\frac{Bx+C}{x^{2}+1}\) mit \(x\) erweitert werden.

Weil ich hatte nämlich gedacht dass A für den Koeffizient vor x² steht

Nein. \(A\) steht für den Zähler des Bruchs \(\frac{A}{x}\).

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okay also spielt es keine rolle, wo was steht, also wo A, B und C stehen und ob hinter Ihnen ein x steht? ich muss einfach nur die brüche erweitern und dann den koeffizienten vergleich machen und dann A, B und C bestimmen?

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was mich halt verwirrt hat, oder immernoch verwirrt ist, dass wenn ich A, B und C einsetze, hinter dem B ein x steht und hinter dem C keins, obwohl im Gleichungssystem hinter dem C ein x steht. Wenn ichs aber richtig verstanden habe, hat das eine mit dem anderen nichts zu tun oder?

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okay also spielt es keine rolle, wo was steht, also wo A, B und C stehen

Natürlich spielt es eine Rolle, wo was steht. Wenn

        \( \frac{2x+2}{x(x^2+1)} = \frac{B}{x} + \frac{Ax+C}{x^2+1} \)

sein soll, dann bekommst du ein anderes LGS mit einer anderen Lösung.

ich muss einfach nur die brüche erweitern und dann den koeffizienten vergleich machen und dann A, B und C bestimmen?

Ja.

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ja klar gibt es eine andere lösung, aber ich meine das auf das x oben bezogen. ich darf nicht denken weil vor dem x ein B steht wird auch in meinem gleichungssystem das B vor dem x stehen. das meine ich

Answer 4

Aloha :)

Bei Zerlegungen in 2 Brüche führt oft die Addition einer "nahrhaften Null" schnell zum Ziel:$$\frac{2x+2}{x\cdot(x^2+1)}=\frac{\pink{2x^2}+2\pink{-2x^2}+2x}{x\cdot(x^2+1)}=\frac{2(x^2+1)-x(2x-2)}{x\cdot(x^2+1)}=\frac2x-\frac{2x-2}{x^2+1}$$

Comments

okay das sieht wirklich schnell aus. aber wie bist du vorgegangen? woher wusstest du dass es 2x^2 ist was du oben hinzufügst?

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Die Aufteilung in die beiden Brüche ist ja klar. Ich stelle mir im Kopf vor, wie sie "über Kreuz" multipliziert werden:$$\frac{2x+2}{x\cdot(x^2+1)}=\frac{A}{x}\nearrow\!\!\!\!\!\!\nwarrow\frac{Bx+C}{x^2+1}$$

Im Zähler müssen sich also \((A\cdot x^2)\) und \((x\cdot Bx)\) kompensieren. Das sind genau die beiden Terme, die ich in Form einer "nahrhaften Null" addiere.

Nach der Kompensation bleibt im Zähler \((A+Cx)\) übrig, sodass \(A=2\) sein muss. Also addiere ich \((2x^2-2x^2)\) und klammere den Zähler so, dass ich nach Aufteilung in 2 Brüche leicht kürzen kann.

Die Partialbruchzerlegung kann man dann eigentlich sofort hinschreiben. Die Zwischenschritte habe der Anschauung wegen hinzugefügt.