Lineare Unabhängigkeit Vektoren und Basis

Question

Aufgabe:

-Untersuchen auf lineare Unabhängigkeit

- Basis bestimmen von Vektoren

Problem/Ansatz:

Ich habe die Vektoren

w1(1 , -2 , 3) , w2(3 , 1 , -1) , w3(-1 , 4 , 2) und w4(2 , 7 , 6). Ich habe diese auf lineare Unabhängigkeit untersucht indem ich die w1 mit den anderen Vektoren als Linearkombination gleichgesetzt habe, und bin dadurch auf das Ergebnis gekommen, dass diese Vektoren linear Abhängig sind. Jetzt ist meine Frage, wie komme ich auf die Basis, die ich wählen muss, damit ich jeden Vektor mit Hilfe der Basis darstellen kann.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die linearen Abhängigkeiten der Vektoren mittels elementarer Spalten-Operationen herausrechnen. Ziel ist es, so viele Zeilen wir möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einem Eintrag ungleich Null bestehen:

$$\begin{array}{rrrr} & -3S_1 & + S_1 & -2S_1\\\hline1 & 3 & -1 & 2\\-2 & 1 & 4 & 7\\3 & -1 & 2 & 6\end{array}\to\begin{array}{rrrr} & & & \div11\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\-2 & 7 & 2 & 11\\3 & -10 & 5 & 0\end{array}\to$$$$\begin{array}{rrrr}+2S_4 &-7S_4 & -2S_4&\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\-2 & 7 & 2 & 1\\3 & -10 & 5 & 0\end{array}\to\begin{array}{rrrr} & & \div5 &\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\3 & -10 & 5 & 0\end{array}\to$$$$\begin{array}{rrrr} -3S_3& +10S_3& &\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\3 & -10 & 1 & 0\end{array}\to\begin{array}{rrrr} \vec e_1 & & \vec e_3 & \vec e_2\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\end{array}$$

Wir konnten die Abhängigkeiten der 4 Vektoren auf 3 Basis-Vektoren reduzieren.

Als Ergebnis erhalten wir die kanonische Standardbasis des \(\mathbb R^3\).

Es gibt auch Professoren, die lassen die Vektoren als Zeilen schreiben, um die linearen Abhängigkeiten dann mit elementaren Zeilenoperationen herauszurechnen. Die Idee dahinter ist dieselbe ;)

Answer 2

4 Vektoren aus dem \( \mathbb{R}^3 \) sind immer linear abhängig.

Comments

Aber wie bestimme ich die Basis? Weil es steht in der Aufgabe, also irgendwie muss das gehen oder?

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Schreibe die Vektoren in eine Matrix und stelle mit dem Gauß-Verfahren die Zeilenstufenform auf. Dann kannst du die Basis ablesen. Da du in der Basis maximal 3 Vektoren haben kannst, brauchst du auch nur maximal 3 Basisvektoren.

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Die 4 Vektoren$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}$$sind alle aus dem \(\mathbb R^3\) und offenbar nicht linear unabhängig.

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Der Rang der Matrix ist dann 1, also gibt es auch nur einen Basisvektor... deswegen steht da auch "maximal 3" und nicht "3".

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Deine Aussage:

4 Vektoren aus dem R³ sind immer linear abhängig.

ist falsch und sollte so nicht stehenbleiben.

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Was ist daran falsch?

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Besser wäre: vier verschiedene Vektoren.

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Damit bin ich einverstanden. Wenn man schon Fehler anmerkt, darf man gerne auch sagen, was das Problem ist.

Besser wäre: vier verschiedene Vektoren.

Wobei das eigentlich auch irrelevant ist. Sobald zwei Vektoren gleich sind, ist doch sowieso Abhängigkeit gegeben. Das schränkt die Aussage also gar nicht ein.

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Ja, war Quatsch, fiel mir auch gerade ein. Ich wüsste auch nicht, warum die Aussage falsch sein sollte.

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Gut, ich fühlte mich schon dumm... Aber Hauptsache andere rechnen wieder fein säuberlich vor und stänkern rum. ;)

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Bitte das "verschiedene" wieder streichen, damit Lernende keine Fehlvorstellung bekommen.

Die ursprüngliche Aussage

4 Vektoren aus dem R3 sind immer linear abhängig.

ist allgemeiner und korrekt.

Lineare Abhängigkeit bezieht sich grundsätzlich auf Familien von Vektoren. Das bedeutet insbesondere, dass sogar derselbe Vektor mehrmals in einer betrachteten Familie auftreten kann.

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Erledigt. Schade, dass es vom eigentlichen Kritiker keine Antwort gibt...