Aufgabe:
Bestimme die Konvergenzkreisscheibe der Potenzreihe
Problem/Ansatz:
Hallo zusammen, ich habe mich an dieser Aufgabe bereits versucht, aber bin auch keinen grünen Zweig bekommen. Da ich mir das alles quasi im "Eigenstudium" aus Interesse an der Mathematik versuche beizubringen, stecke ich öfter mal fest. Es würde mich freuen, wenn sich jemand die Zeit nimmt, mir das erklärt und Lösungswege oder gar die Aufgabe gelöst zeigen kann, damit ich das alles besser nachvollziehen kann. Meine Übungsaufgaben entnehme ich aus Übungsmaterial einer Uni. Jetzt stecke ich hier und bin überfragt:
(a) Bestimmen Sie bitte die Konvergenzkreisscheibe \( M= \)\( U_{R}\left(z_{0}\right) \) der Potenzreihe
\( \) \(\sum \limits_{k=0}^{\infty} \sqrt[k^{k}]{\left(\exp \left(\left(\left(k+\sqrt[k]{3^{2 k}+3^{k}}\right)^{k}+k^{k} \cdot \sqrt[k]{k}\right) \log (3)\right)\right)^{k}}\left(2+\frac{1}{3} z\right)^{k}\)
(b) Für \( a \in \mathbb{R} \) sei die Potenzreihe \(\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(\sqrt[4]{k+1})^{-4(a+1)-8}}{\sqrt[3]{(k+1)^{-3|a+1|}}} z^{k}\)
gegeben. Bestimmen Sie bitte die größtmögliche Menge \( A \) aller Parameterwerte \( a \), für die diese in \( z=+1 \) konvergiert!
(c) Zeigen Sie bitte, dass aus der absoluten Konvergenz der Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \) die Konvergenz der Reihe
\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \sqrt{\left|a_{k} \cdot a_{k+1}\right|} \) folgt.
