Bestimmen Sie die Marktanteile der Firmen nach einem Monat.

Question

Könnte mir jemand Aufgabe 7 bitte erklären? Und vielleicht auch einen Ansatz geben?, danke!

Text erkannt:

7 Drei Firmen U1, U2 und U3 bringen gleichzeitig ein neuartiges Produkt auf den Markt.
Zu Beginn besitzt U1 einen Marktanteil von $40 \%$, U2 von $20 \%$ und U3 von $40 \%$. Das Diagramm beschreibt das monatliche Wechselverhalten der Kunden.
a) Bestimmen Sie die Marktanteile der Firmen nach einem Monat. Zeigen Sie, dass U1 nach zwei Monaten einen Marktanteil von etwa $38,1 \%$ hat.
b) Nach einigen Monaten haben sich die Marktanteile eingependelt und verändern sich nicht mehr. Nennen Sie die Firma, die sich als Marktführer fühlen kann.

Answer 1

Wenn du die Marktanteile in einem Monat kennst,

etwa mit den Werten $\begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{pmatrix}$

Dann kannst du ja den Anteil der ersten Firma nach einem Monat berechnen

durch $x_2=x_1 \cdot b +y_1 \cdot 0,15 + y_3 \cdot 0,05$

und das b findest du heraus, wenn du bedenkst:

10%  von U1 gehen nach U3 und 5% von U1 gehen nach U2,

also bleiben 85% bei U1 und damit ist b=0,85 und du hast

 $x_2=x_1 \cdot 0,85 +y_1 \cdot 0,15 + y_3 \cdot 0,05$

Entsprechend

$y_2=x_1 \cdot 0,05 +y_1 \cdot 0,75 + y_3 \cdot 0,05$

$z_2=x_1 \cdot 0,1 +y_1 \cdot 0,1 + y_3 \cdot 0,9$

Das kannst du in einer Matrixgleichung zusammenfassen

$\begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,85&0,15&0,05\\0,05&0,75&0,05\\0,10&0,10&0,90 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{pmatrix}$

Damit kannst du die Anteile im 2. Monat ausrechnen. Das gibt

$\begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,85&0,15&0,05\\0,05&0,75&0,05\\0,10&0,10&0,90 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 40\\20\\40 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 39\\19\\42 \end{pmatrix}$

Also sind 39%, 19%, 42% die Marktanteile nach einem Monat.

Und nach dem 2. Monat hast du

$\begin{pmatrix} x_3\\y_3\\z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,85&0,15&0,05\\0,05&0,75&0,05\\0,10&0,10&0,90 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 39\\19\\42 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 38,1\\18,3\\43,6 \end{pmatrix}$ 

Also in der Tat 38,1% bei U1.

"Marktanteile eingependelt" heißt ja wohl: Von einem Monat zum nächsten

bleiben sie ungefähr gleich. Also gilt dann

$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,85&0,15&0,05\\0,05&0,75&0,05\\0,10&0,10&0,90 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$  

bzw.

$\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0,15&0,15&0,05\\0,05&-0,25&0,05\\0,10&0,10&-0,10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$ 

Das führt auf

$\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &-1 &-\frac{1}{3}\\ 0 &1 &-\frac{1}{3}\\0&0&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$

Also bei beliebigem z auf $y=\frac{1}{3}z$  und  $y=\frac{1}{3}z$

wegen x+y+z=100 gibt das

x=(50/3)%=16,7%    y=33,3%   z=50%

Also kann U3 wohl als Marktführer gelten.

Comments

ja wir machen das nicht mit spalten sondern mit zeilen, geht das dann auch so?

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Dann musst du die Reihenfolge ändern, und die Matrix

transponieren etwa so:

$\begin{pmatrix} x_1&y_1 &z_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0,85&0,05&0,1\\0,15&0,75&0,1\\0,05&0,05&0,90 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2&y_2 &z_2 \end{pmatrix}$

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wieso machen wir gleich x2 y2 z2?

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Wenn $\begin{pmatrix} x_1&y_1 &z_1 \end{pmatrix}$ die Anteile im 1. Monat sind,

dann sind $\begin{pmatrix} x_2&y_2 &z_2 \end{pmatrix}$ die im 2. Monat.