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Könnte mir jemand Aufgabe 7 bitte erklären? Und vielleicht auch einen Ansatz geben?, danke!

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7 Drei Firmen U1, U2 und U3 bringen gleichzeitig ein neuartiges Produkt auf den Markt.
Zu Beginn besitzt U1 einen Marktanteil von \( 40 \% \), U2 von \( 20 \% \) und U3 von \( 40 \% \). Das Diagramm beschreibt das monatliche Wechselverhalten der Kunden.
a) Bestimmen Sie die Marktanteile der Firmen nach einem Monat. Zeigen Sie, dass U1 nach zwei Monaten einen Marktanteil von etwa \( 38,1 \% \) hat.
b) Nach einigen Monaten haben sich die Marktanteile eingependelt und verändern sich nicht mehr. Nennen Sie die Firma, die sich als Marktführer fühlen kann.

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Wenn du die Marktanteile in einem Monat kennst,

etwa mit den Werten \( \begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{pmatrix}\)

Dann kannst du ja den Anteil der ersten Firma nach einem Monat berechnen

durch \(  x_2=x_1 \cdot b +y_1 \cdot 0,15 + y_3 \cdot 0,05  \)

und das b findest du heraus, wenn du bedenkst:

10%  von U1 gehen nach U3 und 5% von U1 gehen nach U2,

also bleiben 85% bei U1 und damit ist b=0,85 und du hast

 \(  x_2=x_1 \cdot 0,85 +y_1 \cdot 0,15 + y_3 \cdot 0,05  \)

Entsprechend

\(  y_2=x_1 \cdot 0,05 +y_1 \cdot 0,75 + y_3 \cdot 0,05  \)

\(  z_2=x_1 \cdot 0,1 +y_1 \cdot 0,1 + y_3 \cdot 0,9  \)

Das kannst du in einer Matrixgleichung zusammenfassen

\( \begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 0,85&0,15&0,05\\0,05&0,75&0,05\\0,10&0,10&0,90 \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{pmatrix}\)

Damit kannst du die Anteile im 2. Monat ausrechnen. Das gibt

\( \begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 0,85&0,15&0,05\\0,05&0,75&0,05\\0,10&0,10&0,90 \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 40\\20\\40 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 39\\19\\42 \end{pmatrix}\)

Also sind 39%, 19%, 42% die Marktanteile nach einem Monat.

Und nach dem 2. Monat hast du

\( \begin{pmatrix} x_3\\y_3\\z_3 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 0,85&0,15&0,05\\0,05&0,75&0,05\\0,10&0,10&0,90 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 39\\19\\42 \end{pmatrix}    =  \begin{pmatrix} 38,1\\18,3\\43,6 \end{pmatrix} \) 

Also in der Tat 38,1% bei U1.

"Marktanteile eingependelt" heißt ja wohl: Von einem Monat zum nächsten

bleiben sie ungefähr gleich. Also gilt dann

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 0,85&0,15&0,05\\0,05&0,75&0,05\\0,10&0,10&0,90 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)  

bzw.

\( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} -0,15&0,15&0,05\\0,05&-0,25&0,05\\0,10&0,10&-0,10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) 

Das führt auf

\( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 1 &-1 &-\frac{1}{3}\\ 0 &1 &-\frac{1}{3}\\0&0&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)

Also bei beliebigem z auf \(y=\frac{1}{3}z\)  und  \(y=\frac{1}{3}z\)

wegen x+y+z=100 gibt das

x=(50/3)%=16,7%    y=33,3%   z=50%

Also kann U3 wohl als Marktführer gelten.

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ja wir machen das nicht mit spalten sondern mit zeilen, geht das dann auch so?

Dann musst du die Reihenfolge ändern, und die Matrix

transponieren etwa so:

\( \begin{pmatrix} x_1&y_1 &z_1 \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} 0,85&0,05&0,1\\0,15&0,75&0,1\\0,05&0,05&0,90 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2&y_2 &z_2 \end{pmatrix}  \)

wieso machen wir gleich x2 y2 z2?

Wenn \( \begin{pmatrix} x_1&y_1 &z_1 \end{pmatrix}   \) die Anteile im 1. Monat sind,

dann sind \( \begin{pmatrix} x_2&y_2 &z_2 \end{pmatrix}\) die im 2. Monat.

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