Wenn du die Marktanteile in einem Monat kennst,
etwa mit den Werten ⎝⎛x1y1z1⎠⎞
Dann kannst du ja den Anteil der ersten Firma nach einem Monat berechnen
durch x2=x1⋅b+y1⋅0,15+y3⋅0,05
und das b findest du heraus, wenn du bedenkst:
10% von U1 gehen nach U3 und 5% von U1 gehen nach U2,
also bleiben 85% bei U1 und damit ist b=0,85 und du hast
x2=x1⋅0,85+y1⋅0,15+y3⋅0,05
Entsprechend
y2=x1⋅0,05+y1⋅0,75+y3⋅0,05
z2=x1⋅0,1+y1⋅0,1+y3⋅0,9
Das kannst du in einer Matrixgleichung zusammenfassen
⎝⎛x2y2z2⎠⎞=⎝⎛0,850,050,100,150,750,100,050,050,90⎠⎞⋅⎝⎛x1y1z1⎠⎞
Damit kannst du die Anteile im 2. Monat ausrechnen. Das gibt
⎝⎛x2y2z2⎠⎞=⎝⎛0,850,050,100,150,750,100,050,050,90⎠⎞⋅⎝⎛402040⎠⎞=⎝⎛391942⎠⎞
Also sind 39%, 19%, 42% die Marktanteile nach einem Monat.
Und nach dem 2. Monat hast du
⎝⎛x3y3z3⎠⎞=⎝⎛0,850,050,100,150,750,100,050,050,90⎠⎞⋅⎝⎛391942⎠⎞=⎝⎛38,118,343,6⎠⎞
Also in der Tat 38,1% bei U1.
"Marktanteile eingependelt" heißt ja wohl: Von einem Monat zum nächsten
bleiben sie ungefähr gleich. Also gilt dann
⎝⎛xyz⎠⎞=⎝⎛0,850,050,100,150,750,100,050,050,90⎠⎞⋅⎝⎛xyz⎠⎞
bzw.
⎝⎛000⎠⎞=⎝⎛−0,150,050,100,15−0,250,100,050,05−0,10⎠⎞⋅⎝⎛xyz⎠⎞
Das führt auf
⎝⎛000⎠⎞=⎝⎛100−110−31−310⎠⎞⋅⎝⎛xyz⎠⎞
Also bei beliebigem z auf y=31z und y=31z
wegen x+y+z=100 gibt das
x=(50/3)%=16,7% y=33,3% z=50%
Also kann U3 wohl als Marktführer gelten.