Umschreiben die Funktion als Potenzreihe

Question

Aufgabe:

Umschreiben die Funktion als Potenzreihe

Problem/Ansatz:

Hallo! Ich muss die Funktion f(x)=1/(1+x^3) als Potenzreihe (Taylorreihe) umschreiben, damit später einen Taylorpolynom zu berechnen. Ich verstehe nur nicht, wie kann ich es umschreiben..

Meine Vermutung war also \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \)(-1)^n(x^3n)

Answer 1

Deine Vermutung ist richtig, sofern du in deiner Potenzreihe \(x^{3n}\) meinst.

Du nimmst die Potenzreihe von$$\frac 1{1-t}= \sum_{n=0}^{\infty}t^n$$und ersetzt \(t = -x^3\):$$\frac 1{1+x^3}=\frac 1{1-(-x^3)} = \sum_{n=0}^{\infty}(-x^3)^n= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{3n}$$