Gilt die Mengengleichheit Lin(U) = U?

Question

Wenn U eim linearer Unterraum ist, gilt dann Lin(U) = U ?

Comments

Es wäre nützlich zu wissen, die genaue Definition des \(\mathrm{Lin}\)-Operators zu kennen. Ich nehme an, der Schnitt aller Unterräume, die \(U\) enthalten?

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Lin steht für den Spann. Beispiel Lin((1,0,0)) ist ja die Ursprungsgerade an der x-Achse im Raum R^3.

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Der Begriff ist nicht die Definition. Ist der Lineare Spann definiert als "Menge aller möglichen Linearkombinationen" oder als "Schnitt aller Unterräume" oder über eine Universelle Eigenschaft? Die meisten Begriffe in der Mathematik haben viele äquivalente Definitionen, startend bereits bei fundamentalen Begriffen wie Gruppen. Auch bei Begriffen, von denen du meinst, die Bedeutung sei ja eindeutig, bitte immer die Definition mitliefern, sonst steht die Chance hoch, dass du eine formell korrekte, für dich aber unbrauchbare Antwort bekommst (z.B. wenn Dinge einfach anders definiert sind als bei dir).

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Mit dem Spann meine ich die Menge allger möglichen Linearkombinationen.

Answer 1

Das gilt für jeden Untervektorraum \(U\). Nachzulesen bei den Eigenschaften der linearen Hülle bei Wikipedia. Geht es um einen Beweis? Dann ist dieser recht trivial, wenn man die Definition zugrunde legt, dass die lineare Hülle eines UVRs \(U\) der kleinste UVR ist, der \(U\) enthält. Damit wäre \(U\subseteq \langle U\rangle \) klar. Die andere Richtung folgt aber auch sofort, weil in der Hülle ja gerade die Linearkombinationen aus \(U\) enthalten sind, da \(U\) ein UVR ist, damit \(\langle U\rangle \subseteq U\).

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Okay danke für die Antwort