Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort nur aus Buchstaben besteht.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Passwörter* (2_134)
Passwörter bestehen aus Zeichen, die in einer festgelegten Reihenfolge angeordnet sind. Es ist erlaubt, dass in einem Passwort Zeichen mehrfach vorkommen.

Die Anzahl der Stellen eines Passworts wird als Passwortlänge \( k \) bezeichnet \( (k \in \mathbb{N}, k \geq 2) \). Für jede dieser Stellen wird ein Zeichen aus jeweils \( n \) verschiedenen Zeichen gewählt \( (n \in \mathbb{N} \), \( n \geq 2 \) ).

Die Anzahl \( A \) aller möglichen Passwörter kann mithilfe der Formel \( A=n^{k} \) berechnet werden.
b) Das Passwort für den Zugang auf eine bestimmte Website wird automatisch von einem Zufallsgenerator erzeugt. Der Zufallsgenerator wählt jedes Zeichen unabhängig von den anderen Zeichen und mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus 26 Buchstaben und 10 Ziffern aus ( \( n=36 \) ). Die Passwortlänge beträgt 8 Zeichen \( (k=8) \).
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort nur aus Buchstaben besteht.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort höchstens 1 Ziffer enthält.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Passwörter
b.) 1 .)
\( n=36 k=8 \quad \begin{array}{c}A=n^{k} \\ \longleftrightarrow \text { alle mögl. Passwörter }\end{array} \)
\( 26 B, 102 \)
\( P(A)=\frac{k}{n}=P() \)
2.)
\( A( \) max. 12) ?
\( \leftrightarrows A \) (keine Ziffer)
\( A \) (eine Ziffer)
b.)
\( A=26^{8} \)

A (Passwort nur aws Buchstab)
\( A\left(\begin{array}{l} 36 \\ 26 \end{array}\right)^{8}=0,0740 \approx 7,4 \text { \% } \)
2.) \( A\left(\begin{array}{l}36 \\ 26\end{array}\right)^{8}+A\left(\begin{array}{l}26 \\ 36\end{array}\right)^{7} \cdot\left(\begin{array}{l}10 \\ 36\end{array}\right)^{1} \cdot\left(\begin{array}{l}8 \\ 1\end{array}\right) \)
\( 8 k \) mur mit Zohlen
worum?

Ich verstehe den Lösungsansatz bei 2.) nicht ganz, also warum man zum Schluss noch (8 1) anhängen muss?

Comments

Wenn eine eine Ziffer bei 8 Plätzen dabei sein soll dann hast du insgesamt 8 über 1 Möglichkeiten, dass eine Ziffer auf einen dieser 8 Plätzen steht. was genau 8 Möglichkeiten entspricht

Answer 1

1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort nur aus Buchstaben besteht.

26^8 / 36^8 = 0.07402

2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort höchstens 1 Ziffer enthält.

(26^8 + 8·10^1·27^7) / 36^8 = 0.3707

die (8 über 1) bzw. 8 kommt daher, dass die Ziffer an 8 verschiedenen Stellen im Passwort stehen kann.

Comments

Das macht Sinn, danke!

---

Du solltest noch in der Schreibweise darauf achten, dass Brüche mit Bruchstrich und der Binomialkoeffizient ohne Bruchstrich geschrieben wird.

Text erkannt:

Passwörter* (2_134)
Passwörter bestehen aus Zeichen, die in einer festgelegten Reihenfolge angeordnet sind. Es ist erlaubt, dass in einem Passwort Zeichen mehrfach vorkommen.

Die Anzahl der Stellen eines Passworts wird als Passwortlänge \( k \) bezeichnet \( (k \in \mathbb{N}, k \geq 2 \) ). Für jede dieser Stellen wird ein Zeichen aus jeweils \( n \) verschiedenen Zeichen gewählt \( (n \in \mathbb{N} \), \( n \geq 2 \) ).

Die Anzahl \( A \) aller möglichen Passwörter kann mithilfe der Formel \( A=n^{k} \) berechnet werden.
b) Das Passwort für den Zugang auf eine bestimmte Website wird automatisch von einem Zufallsgenerator erzeugt. Der Zufallsgenerator wählt jedes Zeichen unabhängig von den anderen Zeichen und mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus 26 Buchstaben und 10 Ziffern aus \( (n=36) \). Die Passwortlänge beträgt 8 Zeichen \( (k=8) \).
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort nur aus Buchstaben besteht.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort höchstens 1 Ziffer enthält.
Lösung ausblenden
Lösung: Passwörter* (2_134)
b1) \( \left(\frac{26}{36}\right)^{8}=0,0740 \ldots \)
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort nur aus Buchstaben besteht, beträgt rund 7,4\%.
b2) \( \left(\frac{26}{36}\right)^{8}+8 \cdot\left(\frac{26}{36}\right)^{7} \cdot \frac{10}{36}=0,3017 \ldots \)
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort höchstens 1 Ziffer enthält, beträgt rund 30,2 \%.