Hatte jemand andere Untersuchungsideen?

Question 1

Aufgabe:

$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{n^2} $$

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

ich komme leider mit dieser Reihe nicht klar - Leibniz-Kriterium ist nicht anwendbar, Quotioentenkriterium ebenfalls,$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} | \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{n^2}|$$ divergiert. Konnte auch keine Passende Reihe für den Vergleichstest ausdenken. Hatte jemand andere Untersuchungsideen?

Danke im Voraus.

Question 2

Auch der Vergleichstest geht: Für $n \geq 2$:

$$\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n^2} \geq \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2} \geq \frac{1}{n}-\frac{1}{2n}=0.5 \frac{1}{n}$$

Question 3

Wir betrachten die Partialsummen (damit alles math. sauber ist).

$S_k=\sum\limits_{n=1}^k \frac1n+\frac{(-1)^n}{n^2}$

$A_k=\sum\limits_{n=1}^k \frac1n$

$B_k=\sum\limits_{n=1}^k \frac{(-1)^n}{n^2}$

Wir wissen $B_k$ konv. für $k\to\infty$ und $A_k$ nicht.

Nun indirekt: Angenommen $S_k$ konv. für $k\to\infty$, dann auch (Grenzwertsätze) $S_k-B_k$, aber $S_k-B_k=A_k$, was nicht konvergiert. Widerspruch. Also divergiert $S_k$.

Question 4

Bin nicht auf die Idee gekommen, die Grenzwerte zu nutzen. Danke für die Antwort!

nudger · Answer 1 · 2024-02-04T14:48:06+0000

Wir betrachten die Partialsummen (damit alles math. sauber ist).

$S_k=\sum\limits_{n=1}^k \frac1n+\frac{(-1)^n}{n^2}$

$A_k=\sum\limits_{n=1}^k \frac1n$

$B_k=\sum\limits_{n=1}^k \frac{(-1)^n}{n^2}$

Wir wissen $B_k$ konv. für $k\to\infty$ und $A_k$ nicht.

Nun indirekt: Angenommen $S_k$ konv. für $k\to\infty$, dann auch (Grenzwertsätze) $S_k-B_k$, aber $S_k-B_k=A_k$, was nicht konvergiert. Widerspruch. Also divergiert $S_k$.

Bin nicht auf die Idee gekommen, die Grenzwerte zu nutzen. Danke für die Antwort! — Celius, 4 Feb

Hatte jemand andere Untersuchungsideen?

1 Antwort

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