Logarithmus Gleichung lösen, Fehlersuche

Question

Aufgabe:

Folgende Logarithmus Gleichung ist zu lösen.

Wieso funktioniert mein Rechenweg nicht?

Text erkannt:

\( \begin{aligned} \log _{2}(10 x+24)-\log _{2}(x-84) & =\log _{2}(x-36) \mid 2^{(\ldots)} \\ 10 x+24-(x-84) & =x-36 \\ 10 x+24-x+84 & =x-36 \\ 10 x+241-x+84-x+36 & =0 \\ 8 x+144 & =0 \\ 8 x--144 \mid & \mid: 8 \\ x & =-18\end{aligned} \)

Comments

log(a) - log(b) = log(a/b)

Answer 1

Aloha :)

Du hast bereits in der ersten Umformung einen dicken Fehler:$$\log_2(10x+24)-\log_2(x-84)=\log_2(x-36)\quad\big|2^{(\cdots)}$$$$2^{\log(10x+24)-\log_2(x-84)}=2^{\log_2(x-36)}\quad\big|\pink{a^{b-c}=\frac{a^b}{a^c}}$$$$\frac{2^{\log_2(10x+24)}}{2^{\log_2(x-84)}}=2^{\log_2(x-36)}\quad\big|2^{\log_2(y)}=y$$$$\frac{10x+24}{x-84}=x-36\quad\big|\cdot(x-84)$$$$10x+24=(x-36)(x-84)\quad\big|\text{rechte Seite ausmultiplizieren}$$$$10x+24=x^2-120x+3024\quad\big|\text{alle Terme auf eine Seite bringen}$$$$x^2-130x+3000=0\quad\big|\text{Faktorisieren}$$$$(x-100)\cdot(x-30)=0$$$$\cancel{x=30}\;\lor\;x=100$$

Die Lösung \(x=30\) ist nicht zulässig, da sonst in der ursprünglichen Gleichung das Argument der Logarithusunktion negativ wäre.

Comments

Okay verstehe. Also muss man bevor man den log auflöst alle Logarithmen auf einer Seite so weit wie möglich zusammenfassen?

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Ja. Daher sind dann die 2. und 3. Zeile von Tschakabumba entbehrlich.

In solchen Fällen erhebt man nicht ganze Gleichungsseiten in den Exponenten um diesen dann wieder verschwinden zu lassen. Das ist sehr umständlich und völlig unnötig. Man wendet die Log-Gesetze direkt an.

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Vorsicht, ich habe die Logarithmen nicht zusammengefasst, sondern lediglich die Basis \(2\) hinzugefügt. Dann habe das pinke Potenzgesetz angewendet, um das Minuszeichen zwischen den Logarithmen auszulösen.

Dein Ansatz, zunächst die Logarithmen soweit wie möglich zusammenzufassen, wäre natürlich auch gegeganen. Dazu erinnerst du dich daran, dass du beim Logarithmieren eine Rechenstufe runter gehst. Aus einer Potenz wird ein Faktor:$$\log(a^b)=b\cdot\log(a)$$und aus einem Produkt (Quotient) wird eine Summe (Differenz):$$\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)\quad;\quad\log\left(\frac ab\right)=\log(a)-\log(b)$$

Dann kannst du nämlich hier schreiben:$$\log_2(10x+24)-\log_2(x-84)=\log_2\left(\frac{10x+24}{x-84}\right)$$und erhältst als Gleichung:$$\log_2\left(\frac{10x+24}{x-84}\right)=\log\left(x-36\right)$$Dann ist klar, dass die beiden Argumente gleich sein müssen:$$\frac{10x+24}{x-84}=x-36$$