Sandwich-Theorem anwenden bei Folge

Question

Aufgabe:

Untensuchen Sie die Folge auf Konvergenz bzw. Divergenz. bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.

a_n= \( \sqrt{ n^{2} +n } \)  - \( \sqrt{ n^{2} -n } \)

Problem/Ansatz:

Ich bereite mich gerade auf meine Analysis-Klausur vor und bin gerade beim Thema Folgenkonvergenz. Aktuell suche ich nach Aufgaben, um das Sandwich-Theorem zu üben.

Diese Folge sieht ein bisschen so aus, als ob man das Sandwich-Theorem anwenden könnte, meine Vermutung ist nämlich, dass die Folge gegen 0 konvergiert, und als untere Sandwich-Scheibe kann man ja gut die konstante Folge 0 nehmen. Aber leider struggle ich noch damit, wie ich eine größere Folge finde, die auch gegen 0 konvergiert :/

Oder bin ich total auf dem Holzweg und ein anderer Weg führt mich zum Ziel?

Danke für jegliche Hilfe :)

Answer 1

Erweitere zur 3. binom. Formel und klammere n im Nenner aus und kürze damit.

Comments

Ok, Erweitern zur 3. binomischen Formel liefert:

\( \frac{ n^{2}+n - (n^{2}-n) }{ \sqrt{ n^{2}+n } + \sqrt{ n^{2}-n } } \)

= \( \frac{ 2n }{ \sqrt{ n^{2}+n } + \sqrt{ n^{2}-n } } \) .

Und jetzt so n im Nenner ausklammern?

= \( \frac{ 2n }{ \sqrt{ n^{2}·(1+\frac{1}{n}) } + \sqrt{ n^{2}·(1-\frac{1}{n}) } } \)

= \( \frac{ 2n }{ n·\sqrt{1+\frac{1}{n} } + n·\sqrt{1-\frac{1}{n}} } \)

= \( \frac{ 2 }{ \sqrt{1+\frac{1}{n} } + \sqrt{1-\frac{1}{n}} } \)

Somit konvergiert die Folge gegen 1?

Answer 2

Akiga :)

Ich würde den Folgenterm zunächst etwas umformen:$$a_n=\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n}=\frac{(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n})\cdot(\pink{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}})}{\pink{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}}}$$$$\phantom{a_n}=\frac{(\sqrt{n^2+n})^2-(\sqrt{n^2-n})^2}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}}=\frac{n^2+n-(n^2-n)}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}}$$$$\phantom{a_n}=\frac{2n}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}}=\frac{2n\cdot\pink{\frac1n}}{\pink{\frac1n}\cdot\sqrt{n^2+n}+\pink{\frac1n}\cdot\sqrt{n^2-n}}$$$$\phantom{a_n}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac1n}+\sqrt{1-\frac1n}}$$

Und nun entscheide selbst, ob die Nutzung des Sandwich-Theorems zur Bestimmung des Grenzwertes für \(n\to\infty\) hier hilfreich ist oder nicht ;)

Comments

nein, man kann dann so sehen, dass sie gegen 1 konvergiert mit den grenzwertsätzen :)