Question

Berechnen Sie die Nullstellen und Extrempunkte der Funktion \( f(x)=x^{3}-3 x^{2}-24 x \) und zeichnen Sie den Graphen der Funktion!

Answer 1

Nullstellen:

x(x^2-3x-24)

Satz vom Nullprodukt anwenden, verwenden die pq-Formel

...

Extrema:

f '(x) = 0

3x^2-6x-24 = 0

x^2-2x-8= 0

(x-4)(x+2) = 0 , mit Vieta (oder pq-Formel)

....

Answer 2

\( f(x)=x^{3}-3 x^{2}-24 x \)

Extrema:

 \( f'(x)=3x^{2}-6 x-24  \)

\( 3x^{2}-6 x-24=0  \)

\( x^{2}-2 x=8  \)

\( x^{2}-2 x+1=8+1  \)

\( (x-1)^2=9   | ±\sqrt{~~} \)

1.)

\( x-1=3  \)

\( x_1=4  \)    → \( f(4)=4^{3}-3 \cdot 4^{2}-24\cdot 4=-80 \)

2.)

\( x-1=-3  \)

\( x_2=-2  \)    → \( f(-2)=(-2)^{3}-3 \cdot (-2)^{2}-24\cdot (-2)=28 \)

Art der Extrema:

\( f''(x)=6x-6   \)     \( f''(4)=6 \cdot4-6= 18>0 \) Minimum

\( f''(-2)=6 \cdot(-2)-6=-18 \) Maximum