Zeigen Sie, dass √[n]{a^{n}+b^{n}}_{n\epsilon ℕ} für a,b 0 gegen max(a,b) konvergiert.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass $$ \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}_{n\epsilon \mathbb{N}} $$ für a,b > 0 gegen max(a,b) konvergiert.
Hinweis: Nutzen Sie an geeigneten Stellen Limes-Ungleichungen nach unten und nach oben mit bereits bekannten Folgen.

Problem/Ansatz:

Bin bisher nur daraufgekommen anzunehmen, dass $$ a \geq b $$ ist, damit max(a,b) = a. Ansonsten keine Ahnung wie man hier weitervorgeht. Hat jemand vielleicht eine Lösung für?

Comments

Unter der Annahme, dass \(a\ge b\) ist, gelten folgende Abschätzungen:$$(1)\quad\sqrt[n]{a^n+b^n}\le\sqrt[n]{a^n+a^n}=\sqrt[n]{2a^n}=\sqrt[n]2\cdot a\\(2)\quad\sqrt[n]{a^n+b^n}\ge\sqrt[n]{a^n}=a.$$

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Nach Voraussetzung gilt \(a,b>0\). Wir nehmen zusätzlich an, dass \(a\ge b\) ist, denn sollte \(b>a\) sein, können wir die beiden Zahlen ja einfach vertauschen.

Zur Abschätzung der Wurzel nach unten, betrachten wir:$$a=\sqrt[n]{a^n}\;\stackrel{(b>0)}{<}\;\sqrt[n]{a^n+b^n}$$

Zur Abschätzung nach oben erinnern wir uns an die Bernoulli-Ungleichung:$$(1+x)^r\le1+r\cdot x\quad\text{für }x>-1\;\land\;0\le r\le1\quad(\text{BU})$$und finden damit:$$\sqrt[n]{a^n+b^n}=\sqrt[n]{a^n\left(1+\frac{b^n}{a^n}\right)}=a\left(1+\frac {b^n}{a^n}\right)^{\frac1n}\;\stackrel{(\frac ba\le1)}{\le}\;a(1+1)^{\frac1n}\;\stackrel{(\text{BU})}{\le}\;a\left(1+\frac1n\right)$$

Damit gilt:$$a<\sqrt[n]{a^n+b^n}\le a\left(1+\frac1n\right)\quad\implies\quad\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n}=a$$