Wirke eine \(p\)-Gruppe \(G\) per Konjugation auf sich selbst. Diese Wirkung in die Klassenformel eingesetzt ergibt:
\(|G|=|\mathrm{Z}(G)|+\sum\limits_{r}|G|/|G_r|\), wobei die Summe über Repräsentanten der Konjugationsklassen von \(G\) (exklusive Zentrum) läuft.
(*) Falls diese Formel (kenne sie nicht als Bahnenformel sondern als "Klassenformel") nicht bekannt ist, folgt sie direkt aus der Bahnenformel, denn:
Die Menge, auf der operiert wird, kann ja klar in seine Orbits zerlegt werden, also \(|G|=\sum\limits_{r}|G\cdot r|\), wobei diese Summe über die Repräsentanten der Orbits läuft. Elemente des Zentrums sind ihr eigenes Orbit (präziser: genau für die \(g\in\mathrm{Z}(G)\) gilt \(G\cdot g = \{g\}\)), da du die Konjugation durch Kommutierung rauskürzen kannst. Das Zentrum kannst du also explizit einfach mal rausziehen. Alle anderen Orbits sind nach der Bahnenformel ja einfach nur der Quotient von \(|G|\) durch die Größe des Stabilisators, was obere Formel ergibt.
Jetzt schauen wir einfach konzentriert auf die Formel und machen die Beobachtung, dass die linke Seite ein Vielfaches von \(p\) sein muss, und die Summe auf der rechten Seite ebenfalls, denn: alle \(G_r\) sind Untergruppen von \(G\), haben also Kardinalität irgendein \(p^k\), möglicherweise \(k=0\). Da es sich gerade um die nichttrivialen Konjugationsklassen handelt, muss aber \(G\neq G_r\) gelten (das Zentrum ist ja definiert als die Menge aller Elemente \(r\) mit der Eigenschaft \(g^{-1}rg=r\) für alle \(g\in G\), was hier einfach nur bedeutet \(G=G_r\)) und damit \(|G|/|G_r|> 1\), also ein Vielfaches von \(p\).
Wenn die linke Seite und die rechte Summe Vielfache von \(p\) sind, dann muss auch \(|\mathrm{Z}(G)|\) ein Vielfaches von \(p\) sein, also \(|\mathrm{Z}(G)|>1\), was die Behauptung beweist.
