Bestimmen Sie 95%-Prognoseintervalle für die Anzahl der Personen mit Blutgruppe 0, wenn n = 100, n = 1000 oder n = …

Question

Aufgabe:

Etwa 45% der Deutschen haben die Blutgruppe 0.
a) Bestimmen Sie 95%-Prognoseintervalle für die Anzahl der Personen mit Blutgruppe 0, wenn n = 100, n = 1000 oder n = 10000 Personen zufällig ausgewählt werden.
b) Teilen Sie die Grenzen der Intervalle aus a) durch n, um 95%-Prognoseintervalle für relative Häufigkeiten zu erhalten. Beschreiben Sie, was solche Intervalle aussagen.
c) Bestimmen Sie jeweils die Breite der Prognoseintervalle in a) und b) und beschreiben Sie, wie sich die Breite mit wachsendem n verändert.

Problem/Ansatz:

Ausrechnen hat funktioniert. Doch was genau sagen die Intervalle in b aus? Ich bekomme für n gleich 100 zum Beispiel 0,35 und 0,55 doch was heißt das.

Ebenfalls in c. Die Veränderungen hab ich erklärt. Doch was bedeuten sie? Danke für jede Hilfe :))

Answer 1

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt die relative Häufigkeit für die Blutgruppe 0 im Prognoseintervall.

Ist dir klar, was ein Prognoseintervall ist? Welche Bedeutung hat es dann wohl, wenn das Intervall groß bzw. klein ist?

Answer 2

c) Bestimmen Sie jeweils die Breite der Prognoseintervalle in a) und b) und beschreiben Sie, wie sich die Breite mit wachsendem n verändert.

a)

[n·p - k·√(n·p·(1 - p)), n·p + k·√(n·p·(1 - p))] mit k = 1.96

Breite: 2·k·√(n·p·(1 - p))

Die Intervallbreite ist damit Proportional zur Wurzel aus n. Strebt also für n gegen unendlich auch gegen unendlich.

b)

[n·p - k·√(n·p·(1 - p)), n·p + k·√(n·p·(1 - p))]/n mit k = 1.96

Breite: 2·k·√(n·p·(1 - p))/n = 2·k·√(p·(1 - p)/n)

Die Intervallbreite ist damit antiproportional zur Wurzel aus n. Strebt also für n gegen unendlich gegen null!

Comments

Danke, dass habe ich verstanden, aber wieso ist es im Sachzusammenhang so, dass die relativen Prognoseintervalle gegen null streben, wenn n größer wird. Mathematisch habe ich das verstanden, ich kann es nur nicht sinngemäß nachvollziehen.

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Und noch eine Frage, wie kommt man auf proportional zu der Wurzel n. Also woher kommt die Wurzel n?

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Ich solltet in der Wahrscheinlichkeitsrechnung das Gesetz der großen Zahlen gehabt haben. Die relative Häufigkeit stabilisiert sich mit zunehmendem Stichprobenumfang immer mehr um die Wahrscheinlichkeit.

https://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_gro%C3%9Fen_Zahlen

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Und noch eine Frage, wie kommt man auf proportional zu der Wurzel n. Also woher kommt die Wurzel n?

Es wäre proportional zu Standardabweichung. In die geht aber das n mit der Wurzel aus n ein, wie du an der Formel erkennen kannst.