Zeigen Sie Binomischer lehrsatz und Doppelsumme

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass für \( z \in \mathbb{R} \) und \( n \in \mathbb{N} \) gilt
\( \sum \limits_{i=1}^{n}\left[\sum \limits_{j=0}^{n-i}\binom{n-i}{j} \cdot\binom{n}{i} \cdot(1-z)^{i} \cdot(z-1)^{n-i-j}\right]=1-z^{n} . \)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe eine Frage zu Binomischer lehrsatz und Doppelsumme, aber ich wess nicht, wie kann man zeigen.

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass für \( z \in \mathbb{R} \) und \( n \in \mathbb{N} \) gilt
\( \sum \limits_{i=1}^{n}\left[\sum \limits_{j=0}^{n-i}\binom{n-i}{j} \cdot\binom{n}{i} \cdot(1-z)^{i} \cdot(z-1)^{n-i-j}\right]=1-z^{n} . \)

Answer 1

Wende hier zweimal den binomischen Lehrsatz an:

Schreibe dazu erstmal die Doppelsumme um und ziehe alles aus der inneren Summe, was nicht vom inneren Index, also \(j\) abhängt und füge eine künstliche 1 hinzu.

1) \( \sum \limits_{i=1}^{n}\binom{n}{i} \cdot(1-z)^{i}\left[\sum \limits_{j=0}^{n-i}\binom{n-i}{j}\cdot 1^{n-i}\cdot(z-1)^{n-i-j}\right]\)

Wende den BL nun auf die innere Summe an und erhalte \(z^{n-i}\).

Das liefert

2) \( \sum \limits_{i=1}^{n}\binom{n}{i} \cdot(1-z)^{i}z^{n-i} \).

Ergänze den Index für \(i=0\) und wende den BL erneut an.

3) \( \sum \limits_{i=0}^{n}\binom{n}{i} \cdot(1-z)^{i}z^{n-i} -z^n\).

Der BL liefert für die Summe \((1-z+z)^n\).

Vereinfachen und fertig.