Gilt E[X2] ≥ E[X]2 in einem diskreten W‘raum?

Question

Aufgabe:

Gilt E[X²] ≥ E[X]² ?

Wahrscheinlichkeitsraum ist diskret und E[X²] endlich

Ich glaube es stimmt, kann aber nicht zeigen warum.

Answer 1

Aloha :)

Wir haben \(n\) diskrete Ereignisse \(x_k\), die mit der Wahrscheinlichkeit \(p_k\) auftreten.

Damit können wir die folgende Differenz betrachten:$$E[X^2]-E[X]^2=E[X^2]-2E[X]^2+E[X]^2$$$$\phantom{E[X^2]-E[X]^2}=\underbrace{\sum\limits_{k=1}^np_kx_k^2}_{=E[X^2]}-2E[X]\cdot\underbrace{\sum\limits_{k=1}^np_kx_k}_{=E[X]}+E[X]^2\cdot\underbrace{\sum\limits_{k=1}^np_k}_{=1}$$$$\phantom{E[X^2]-E[X]^2}=\sum\limits_{k=1}^np_k\cdot x_k^2-\sum\limits_{k=1}^np_k\cdot2E[X]x_k+\sum\limits_{k=1}^np_k\cdot E[X]^2$$$$\phantom{E[X^2]-E[X]^2}=\sum\limits_{k=1}^np_k\cdot\left(x_k^2-2E[X]x_k+E[X]^2\right)$$$$\phantom{E[X^2]-E[X]^2}=\sum\limits_{k=1}^np_k\cdot\left(x_k-E[X]\right)^2\ge0\quad\checkmark$$

Da alle \(\{p_k\}\in[0;1]\) und Quadratzahlen \((\cdots)^2\ge0\) sind, muss die Summe ebenfalls \(\ge0\) sein. Daher ist die Behauptung korrekt.