Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ ℝ gilt:

Question

Aufgabe:

1. Zeigen Sie, dass für alle \( x, y \in \mathbb{R} \) gilt:
\( |x+y|+|x-y|=2 \max \{|x|,|y|\} . \)
2. Bestimmen Sie alle \( x \in \mathbb{R}, x \neq 2 \), für die gilt:
\( \frac{1}{|x-2|}>\frac{1}{1+|x-1|} \)

Guten Tag! :D Was wäre hier für die Lösung?

Answer 1

Bei Beträgen bietet es sich immer an, eine Fallunterscheidung zu machen.

Fange also an: Es sei \(x>y>0\). Dann gilt \(|x+y|+|x-y|=x+y+x-y=2x=2\max\{|x|,|y|\}\). Analog für den Fall \(y>x>0\). Dann muss man noch untersuchen, wie es für \(<0\) aussieht und schließlich, wenn \(x\) und \(y\) unterschiedliche Vorzeichen haben.