a) Wäre lim f(x)=1 für x→0, dann müsste es zu jeder ε-Umgebung U von 1 eine
δ-Umgebung V von 0 geben, bei der für alle x∈V gilt f(x)∈U.
Da jede δ-Umgebung V von 0 aber auch x-Werte enthält, die
kleiner als 0 sind, gilt für diese x-Werte f(x)=-2.
Wenn also ε<3 gewählt wird, liegen diese Funktionswerte nicht
in U. Somit kann nicht lim f(x)=1 für x→0 gelten.
b) Ähnlich kann man auch begründen, dass es gar keinen
Grenzwert lim f(x)=a für x→0 geben kann.
Denn dann müsste es zu jeder ε-Umgebung U von a eine
δ-Umgebung V von 0 geben, bei der für alle x∈V gilt f(x)∈U.
Da jede δ-Umgebung V von 0 sowohl positive als auch
negative x-Werte enthält, kommen bei den Funktionswerten
sowohl der Wert -2 als auch der Wert 1 vor.
Der Abstand dieser beiden Zahlen beträgt 3. Wählt man
also ε<1,5 , so kann es keine ε-Umgebung U von a
geben, die beide Funktionswerte enthält.
