Zeige, dass ~ eine Äquivalenzrelation auf M definiert

Question

Aufgabe:

Es sei \( M \) eine Menge und \( f: M \rightarrow M \) eine Abbildung. Für \( m, n \in M \) setzen wir \( m \sim n: \Leftrightarrow f(m)=f(n) \).

a) Zeige, dass \( \sim \) eine Äquivalenzrelation auf \( M \) definiert.

b) Es sei \( M=\mathbb{R} \) und \( f(x)=\lfloor x\rfloor \) (hierbei bedeuted \( \lfloor x\rfloor \) das abrunden von \( x \) ). Beschreibe die Äquivalenzklassen.

Ich weiß , dass ich auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität überprüfen muss. Mehr weiß ich leider auch nicht. Denn wie ich das überprüfe, weiß ich leider nicht, ich habe mir Beispiele angeschaut, die mir jedoch nicht weiterhelfen. Ich hoffe ihr könnt mir helfen

Answer 1

Reflexivität:

Zeige: Für alle m ∈ M gilt: m ≈ m

(Hinweis: Das Zeichen für die "einfache Schlange" steht hier leider nicht zur Verfügung, ich ersetze das Zeichen daher durch die "doppelte Schlange")

Nun, offensichtlich gilt für alle m:

f ( m ) = f ( m )

also gilt:  m ≈ m

Symmetrie:

Zu zeigen: Für alle a, b ∈ M mit a ≈ b gilt auch: b ≈ a

Nun,

a ≈ b <=> f ( a ) = f ( b ) <=> f ( b ) = f ( a ) <=> b ≈ a

Transitivität:

Zu zeigen: Für alle a, b, c ∈ M mit a ≈ b und b ≈ c gilt auch: a ≈ c

Nun,

wenn gilt:

a ≈ b und b ≈ c

dann gilt:

f ( a ) = f ( b ) und f ( b ) = f ( c )

Dann gilt aber auch:

f ( a ) = f ( c )

also a ≈ c