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Für welche reellen Zahlen x gilt: |(x+4)/(x-2) | < x?

Ich habe 3 Fälle unterschieden.

1.Fall: x < -4

(x+4)/(x-2) < x (weil ja beide ein negatives Vorzeichen hätten. habe ich es direkt als positiven Bruch jetzt geschrieben)

--> 0 > x^2-3x-4

Dann Faktorisieren bzw. mit pq-Formel die Nullstellen ausrechnen

--> x1 = 4 v x2 = -1

--> x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)

So habe ich das bei den anderen beiden Fällen auch immer gemacht.

Fall 2: -4 <= x < 2

(x+4)/-(x-2) < x

--> 0 > x^2 -x +4

Wenn ich das dann mit der pq- Formel auflöse, erhalte ich etwas Negatives unter der Wurzel, weshalb ich das ja dann weg lassen kann.

Fall 3: x > 2

Läuft analog zu Fall 1.

Ich weiß jetzt aber ehrlich gesagt nicht, wie ich dann jeweils weiter machen soll, sodass ich am Ende auf eine Lösungsmenge komme.
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In der Eingangsfrage soll stehen: |(x+4)/(x-2)| < x!!
EDIT: Betrag ergänzt.

Du kannst übrigens von Anfang an x< 0 und x = 2 ausschliessen, da der Betrag nicht neg. sein kann und unter dem Bruchstrich keine 0 stehen darf.

Fälle:

0 ≤ x < 2 und 2 < x.
Warum kann das denn unterm Bruchstrich nicht negativ werden?? Also, dass es nicht 2 sein darf leuchtet mir ja ein und das hatte ich ja auch berücksichtigt in meinen Fällen, weil es ja bei mir echt > 2 sein muss.

Aber ein negativer bruch klappt doch, oder nicht?

Als Beispiel wähle ich mal -3, dann steht da doch:

|(-3+4)/(-3-2)| = |1/-5|= 1/5, also geht doch x<0 auf jeden Fall.
Ach, Fehler entdeckt!! Dann wäre ja 1/5 < -3 und das geht selbstverständlich nicht.

Aber dann geht das bei 0 ja auch nicht, denn: |(0+4)/(0-2)| = |-2| = 2 < 0 (keine wahre Aussage)

Aber wie löse ich denn nun weiter da oben bei mir auf, sodass ich zu meiner Lösungsmenge komme??
Durch reines Ausprobieren komme ich jetzt darauf, dass x echt > 4 sein muss, damit das klappen kann.
EDIT: Fehler gefunden. ---> Antwort.
Ja, also beim Fall x > 2:

Da müsste dann ja stehen: 0 < x^2 - 3x - 4 und nicht +4 --> somit existieren auch wieder Nullstellen an den Stellen x1=4 v x2=1.

Jetzt kann ich das Ganze ja auch als  0 < (x-4)(x+1)  schreiben (da ja: (x-4)(x+1) = x^2-3x-4 ist).

Kann ich jetzt nochmal Fälle unterscheiden und zwar so??:

1.) x-4 > 0 oder x+1 > 0 --> da xecht > 2 vorgegeben ist geht nur das, da x>4 insb. >2 ist??

2.) x-4 > 0 oder x+1 <0

3.) x-4 < 0 oder x+1 < 0

4.) x-4 <0 oder x+1 > 0

 da xecht > 2 vorgegeben ist geht nur das, da x>4 insb. >2 ist??

Ja. Genau.

Hier noch die beiden Parabeln im Koordinatensystem:

Aha!! Ok, super. Vielen Dank dir! :)

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|(x+4)/(x-2)| < x

Fall 0 ≤ x < 2

| (x+4) / (x - 2) | = ( x+4) / ( 2-x ) < x          |* (2-x)

x + 4 < (2-x) x = 2x - x^2

x^2 - x + 4 < 0

x1,2 = 1/2 ( 1 ± √(1 - 16))  

Hat keine Nullstelle -15 unter der Wurzel

Da die Parabel mit der Gleichung y = x^2 - x + 4  nach oben geöffnet ist, verläuft sie ganz über der x-Achse. Die Ungleichung ist nie erfüllt.

Fall x > 2

| (x+4) / (x - 2) | = ( x+4) / ( x-2 ) < x          |* (2-x)

x + 4 < (x-2) x = x^2 - 2x

0 < x^2 - 3x - 4  

x 1,2 = 1/2 ( 3 ± √(9 + 16))  

x1 = 1/2 ( 8) = 4

x2 = 1/2 (-2) = -1

Diese Parabel verläuft ab x = 4 über der x-Achse.

D. h. nun x > 4

L = {x | x >4} 

 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7C%28x%2B4%29%2F%28x-2%29%7C+%3C+x

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