Sei n aus N. Zeigen Sie: wenn n>2, dann hat n einen Primteiler 2<p<Wurzel n

Question

Hallo ich soll zeigen,

dass n aus den natürliche Zahlen und größer gleich 2, einen Primteiler besitzt, wenn n zusammengesetzt ist.

Der Primteiler p erfüllt 2<p< Wurzel aus n

Wie gehe ich da ran?

Danke für eine Antwort!

Answer 1

Hi,
zu jeder natürlichen Zahl >2 gibt es einen kleinsten Teiler p der eine Primzahl ist, siehe hier. Wenn p ein Teiler von n ist, gibt es ein m mit $$ p*m=n $$

m ist ebenfalls ein Teiler (sogenannter komplementär Teiler von n). Da p der kleinste Teiler ist gilt $$ p\lt m=n/p \text { Daraus folgt } p^2\lt n \text { also } p\lt\sqrt{n} $$ was zu beweisen war.

Comments

Sollte es nicht jeweils \(\leq\) heißen? Z.B. bei \(n = 4\).

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Hi,

da hast Du Recht. Insofern habe ich nur gezeigt das $$ p\le \sqrt{n} $$ gilt.

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Hi,

und zwar gilt nicht $$  p<m \text { sondern } p\le m$$