Kovarianz berechnen mit Zufallsgrößen

Question

Es seien X₁ und X₂ Zufallsgrößen mit σ₁²=4, σ₂² =15 und Var(-20 X₁ +15 X₂ )=7908. Berechnen Sie die Kovarianz σ₁₂ auf 2 Dezimalstellen gerundet.

 

Kann das hier jemand? Bitte um Hilfe

Answer 1

$$ V(X)=E(X^2)-(EX)^2 $$$$Cov(X,Y)=E(XY)-EX\cdot EY$$
$$V(-20X+15Y)=\color{green}{E((-20X+15Y)^2)}\color{blue}{-(E(-20X+15Y))^2}\\=\color{green}{E(400X^2-600XY+225Y^2)}\color{blue}{-(-20EX+15EY)^2}\\=\color{green}{400EX^2-600E(XY)+225EY^2}\color{blue}{-400 (EX)^2+600EXEY-225(EY)^2}$$Etwas umsortieren:$$400\overbrace{(EX^2-(EX)^2)}^{\sigma_1^2=4}+225\overbrace{(EY^2-(EY)^2)}^{\sigma_2^2=15}-600\overbrace{(E(XY)-EXEY)}^{Cov(X,Y)}=7908\\Cov(X,Y)\approx -4.89$$

Comments

Oder etwas kürzer:
$$V(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)$$$$V(-20X+15Y)=400Var(X)+225Var(Y)+\overbrace{2Cov(-20X,15Y)}^{Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)}\\=1600+3375+2\cdot(-20)\cdot(15)Cov(X,Y)=4975-600Cov(X,Y)=7908\\Cov(X,Y)\approx-4.89$$