Man bestimme den Grenzwert der Folge an= (ln n)/(√n) für n → ∞

Question

a_n= (ln n)/(√n) für n → ∞

wie berechnet man den Grenzwert einer Folge?

Wolframalpha sagt dass da 0 raus kommt, aber ich kanns nicht nachvollziehen :(

ich würde wieder eigentlich ln n und wurzel n zu ln x und wurzel x umschreiben und dann einfach zähler und Nenner ableiten aber .....trtzd komme ich nicht weiter

Answer 1

Das ist einfach nur der Grenzwert von (ln n)/(√n) für n gegen unendlich

Also auch hier l'hospital anwenden.

Comments

Dachte ich mir irgendwie gaaaanz grob, also

lim (x → ∞) (ln x)/(√x) = lim (x → ∞) (1/x)/(1/2√x) =

ich verstehe das hier wieder nicht. Dieses unendlich regt mich auf :( wäre da zum Beispiel eine Zahl wie bei der vorherigen Aufgabe..dann könnte ich das vielleicht hier schaffen, aber ich komme nicht weiter

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Warum stört dich das unendlich? Damit rechnet man doch quasi nicht. 

lim (n → ∞) LN(n) / √n

L'Hospital

lim (n → ∞) (1/n) / (1/(2·√n))

Doppelbruch bitte auflösen

lim (n → ∞) 2/√n = 0

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wieso ist jetzt das n von 1/n weg?

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l'Hospital ist allerdings nicht im Allgemeinen für Folgen gültig.

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Oh. warum genau nicht ?

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(1/n) / (1/(2·√n))

Ich teile durch einen Bruch indem ich mit dem Kehrbruch multipliziere. Rechenregel 6. Klasse.

= (1/n) * ((2·√n)/1)

Multiplikation zweier Brüche. Rechenregel 6. Klasse.

= 2·√n / n

Zähler und Nenner durch √n kürzen

= 2 / √n

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Weil sie für Grenzwerte von Funktionen erklärt ist:  https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital .

Nicht jede Folge lässt sich als als eine Funktion, die auf \( \mathbb{N} \) eingeschränkt wird, betrachten.

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Ahhh jaja ok ok
ich hatte es vergessen:)

tut mir leid

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Nicht jede Folge lässt sich als als eine Funktion, die auf N eingeschränkt wird, betrachten.

Ja aber die obige schon oder nicht?

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Ja, die obige schon.

Answer 2

du musst den Ausdruck einfach umformen zu

\( \frac{1}{\sqrt{n}} \log(n) = \log(n^{\frac{1}{\sqrt{n}}}) = \log( \sqrt[\sqrt{n}]{n}) \).

Für \( n \rightarrow \infty \) geht das Argument der Logarithmusfunktion gegen \( 1 \) und der Wert der Logarithmusfunktion daher gegen \( 0 \).

MfG

Mister