Integral von x(1+x^2)^15 bestimmen

Question

zur Zeit erlerne ich die Grundlagen der Integralrechnung. Die Produktregel ist mir bereits bekannt. Nun soll ich für die Funktion x(1+x2)^15 das Integral bestimmen. Muss ich dafür nicht die Produktregel anwenden? Ich habe ja eine Verbindung mit einer Multiplikation und das x kommt zweimal vor. Ich bin mir noch unsicher, wann ich die Produktregel anwenden kann und wann nicht. Gibt es für Brüche eigentlich als Pendant zur Differentialrechnung eine Quotientenregel oder muss ich einen meistens Bruch erst umformen um das Integral bestimmen zu können?

Answer 1

∫ x·(1 + x^2)^15 dx

Ich erkenne hier die Kettenregel des Ableitens, weil die innere Ableitung bis auf den Faktor 2 außen zu erkennen ist. Daher wähle ich hier Integration durch Substitution.

z = 1 + x^2
dz = 2·x dx 
dx = dz/(2·x)

∫ x·z^15 dz/(2·x)

∫ 1/2·z^15 dz = 1/32·z^16

Resubstitution

1/32·(1 + x^2)^16

Comments

Die Substitution wurde bei uns noch nicht behandelt. Kann diese Aufgabe auch ohne Substitution gelöst werden? Die Aufgabe war:

$$\int { x(1+{ x }^{ 2 })^{ 15 } } dx$$

Als Hinweis gab es noch: Welches ist die Ableitung von (1+x^2 ) ^16

Wie kann ich die Aufgab mit dem Hinweis lösen? Die Ableitung wäre 32x(1+x^2 )^15 Inwieweit bringt mich das meiner Lösung näher?

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Da du eine Ableitung erhältst

32x(1+x^2 )^15

die nur um den Faktor 32 zu groß ist teilst du die Ausgangsfunktion einfach durch 32.

Also was ist die Ableitung von

1/32 * (1 + x^2)^16