Suche Erzeugendensystem und Dimension von U1:={(x,y,z,u) in R^4| x-y+2z=0} und ....

Question

Aufgabe:

\( \begin{aligned} U_{1} &:=\left\{(x, y, z, u) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-y+2 z=0\right\} \\ U_{2} &:=\left\{\alpha \cdot(1,-2,1,0)^{t}+\beta \cdot(2,1,0,-2) \in \mathbb{R}^{4} \mid \alpha, \beta \in \mathbb{R}\right\} \end{aligned} \)

Geben Sie ein Erzeugendensystem für \( U_{1} \) an.

Bestimmen Sie ein Erzeugendensystem für \( U_{1} \cap U_{2} \).

Welche Dimension haben die Unterräume \( U_{1}, U_{2}, U_{1} \cap U_{2}, U_{1}+U_{2} ? \)

Muss ich konkret die Lösungsmenge in eine Formel einsetzen oder wie läuft die Rechnung genau ab?

Comments

Hier mal ein Anfang:

Suche Erzeugendensystem und Dimension von U1:={(x,y,z,u) in R⁴| x-y+2z=0} und...

Suche Erzeugendensystem und Dimension von

U1:={(x,y,z,u) in R⁴| x-y+2z=0}

Vorbemerkung:

Du hast hier eine lineare Gleichung in einem Raum mit 4 Unbekannten. Wegen dieser Gleichung gibt es mindestens einen Vektor, des R^4, der nicht in U1 liegt. Beispiel: (1,0,0,0) ist nicht in U1, denn 1≠0.

U1 hat also höchstens die Dimension 4-1 = 3

Nun kann man problemlos 3 linear unabhängige Vektoren in U1 angeben:

(0,0,0,1)^t

(1,1,0,0)^t

(1,0,-2,0)^t

Folglich ist die Dimension von U1 gerade 3 und die Vektoren

(0,0,0,1)^t

(1,1,0,0)^t

(1,0,-2,0)^t

bilden ein Erzeugendensystem von U1.

Soweit klar? Kommst du jetzt selbst weiter?

Fortsetzung analog zu hier: https://www.mathelounge.de/129093/erzeugendensystem-der-unterraume-bestimmen