mehrdimensionale kettenregel

Question

Berechnen sie die Ableitung der Verkettung f(g(t)) direkt und mithilfe der kettenregel. Dabei ist f(x,y)=1-x^2-xy-y^2 und g:R->R^2 gegeben durch g(t)= (cos(t), sin(t))


fx(x,y)= -2x-yfy(x,y)= -x-2y
g'(t)= (-sin(t), cos(t))
Wie rechne ich dann weiter? Danke
Die lösung ist übrigens f(g(t)= (sin(t))^2-(cos(t))^2

Answer 1

f(x, y) = 1 - x^2 - x·y - y^2

f(COS(t), SIN(t)) = 1 - COS(t)^2 - COS(t)·SIN(t) - SIN(t)^2

f'(COS(t), SIN(t)) = 0 + 2·SIN(t)·COS(t) + (1 - 2·COS(t)^2) - 2·SIN(t)·COS(t) = 1 - 2·COS(t)^2

Comments

Danke aber die lösung sollte  (sin(t))^2-(cos(t))^2  lauten

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1 - 2·COS(t)²

Wir wissen: 1 = SIN(t)^2 + COS(t)^2

= SIN(t)^2 + COS(t)^2 - 2·COS(t)^2

= SIN(t)^2 - COS(t)^2

Du siehst es ist also letztendlich das gleiche. Ich würde allerdings die erste einfachere Schreibweise bevorzugen.