Ungleichungen lösen mit Fallunterscheidungen

Question

Wie löse ich solche Aufgaben?

|x-2|<3

|x+5|>7

|x-3|<7

Mir ist einfach nicht klar, wie ich Beträge auflösen muss. Ich weiß nur, dass ich Fallunterscheidungen machen muss, aber wie?

Wäre für eine Erklärung sehr dankbar!

Answer 1

Ich mach das mal ein einer vor. Die anderen probierst du dann zunächst alleine

|x - 2| < 3

Mach eine Fallunterscheidung wenn der Term im Betrag >= 0 oder wenn er < 0 ist.

Fall 1: x - 2 >= 0 --> x >= 2

In diesem Fall können die Betragsstriche einfach weggelassen werden.

x - 2 < 3
x < 5

Hier ist die Lösung wenn x >= 2 und wenn x < 5 ist. Also 2 <= x < 5

Fall 2: x - 2 < 0 --> x < 2

Hier wird der Betrag weggelassen und dafür ein Minus vor der Term gesetzt.-(x - 2) < 3
-x + 2 < 3
-1 < xx > -1Hier haben wir also als Lösung -1 < x < 2Wenn wir beide Lösungen zusammennehmen haben wir die Lösung-1 < x < 5

Comments

Erst einmal danke für deine Antwort. Habe aber zu der Aufgabe noch eine Frage: warum benutzt du im ersten Fall >=0 und nicht nur >0? Werde die anderen Aufgaben gleich selber probieren.

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Irgendwo muss der Fall ja auch abgedeckt sein das der Betrag = 0 ist. daher unterscheide ich in

Fall 1: Betrag >= 0 und

Fall 2: Betrag < 0

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Gut, dann versuche ich mich mal an einer der anderen Aufgaben:

|x-3|<7

Fall 1:

x-3>=0 => x>=3

Also

x-3<7

x<10

Also ist die Lösung x>=3 wenn x<10

Fall 2:

x-3<0 => x<3

Also

-x+3<7

Somit-x<4 und daraus folgt x>-4

Somit ist die Lösung -4<x<3

Und die gesamte Lösung lautet

-4<x<10

Ist das so richtig?

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Gesamtlösung  -4 < x < 10

Durch Proben kann man vergewissern

x = -5 : | -5 - 3 | < 7 : 8 < 7  ( außerhalb des Lösungsbereichs )

x = -3 : | -3 - 3 | < 7 : 6 < 7
x = 9 : | 9 - 3 | < 7 : 6 < 7

x = 11 : | 11 - 3 | < 7 : 8 < 7  ( außerhalb des Lösungsbereichs )

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Ja. Die Lösung stimmt.

Answer 2

Ohne Fallunterscheidung, aber unter Anwendung der Definition des Betrages, läuft es bisweilen deutlich flüssiger:

$$ \left| x-2 \right| < 3 \quad \Leftrightarrow \quad  -3 <  x-2 < 3  \quad \Leftrightarrow \quad  -1 <  x < 5. $$

Comments

Geht das dann bei allen Aufgaben so schnell zu lösen?

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Ja. Völlig richtig. Und wenn man die Fallunterscheidung verstanden hat, kann man sich auch gerne an solche vereinfachungen machen.

Aber die Fallunterscheidung funktioniert ja auch bei wesentlich komplexeren Gleichungen.

Aber auf jeden Fall auch ein sehr guter einfacher Weg, den man kennen sollte.

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Danke nochmal. Jetzt sollte es klappen!

Answer 3

Da helfen dir meine 3 Tipps: Ungleichungen lösen