Steckbriefaufgabe: Normale und ihre Steigung an einem Punkt gegeben, aber was genau sagt mir das?

Question

ich habe eine Frage zum Thema Steckbriefaufgaben. Gegeben ist:

-ganzrationale Funktion 3.Grades => f(x)=ax³+bx²+cx+d

-Wendepunkt W(-1|10)                     => f(-1)=0; f''(-1)=0

-im Punkt P(0|8/3) eine Normale mit der Steigung 1/2. =>f(0)=8/3 ; und hier weiß ich nicht weiter..

Was bedeutet das mit der Normalen und ihrer Steigung bzw. was für Informationen zu der Funktion gibt es mir?

Ich freue mich über jede Antwort und vielen Dank :-)

Comments

f(-1) = 10 

f(0) = 8/3

Normale:

Wenn die Normale dort die Steigung m=1/2 hat, hat die Tangente dort die Steigung -1/m = -1/(1/2) = -2

d.h. :

f '(0)= -2

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Danke für die schnelle Antwort! Ich verstehe das mit der Normalen und der Tangente aber irgendwie nicht. Woher weißt du, dass die Tangente dann diese Steigung hat?

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Tangentensteigung sei m1, Normalensteigung sei m2:

Es gilt: m1*m2=-1 ---> m2=-1/m1

http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/diff_01_05.htm

Answer 1

Hallo Qcyo11,


die Normale im Punkt P steht senkrecht auf der Tangente im Punkt P.
Da die Normale im Punkt P hier die Steigung 1/2 hat, hat die dortige Tangente die Steigung -2, wie hoffentlich in folgendem Beispiel ersichtlich:

 

Da die Tangente im Punkt P die gleiche Steigung hat wie die gesuchte Funktion, hast Du jetzt die Information

f'(0) = -2

Besten Gruß

Answer 2

f ( -1 ) = 10
f ´´(-1) =0
f ( 0 ) = 8/3
f ´( 0 ) = -2

4 Gleichungen mit 4 Unbekannten. 4 Aussagen.
Das müßte lösbar sein.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Comments

Also ich habe das jetzt in die Funktion eingesetzt und so weitergerechnet, aber komme nicht wirklich weiter:

f(-1)= -1a+1b-1c+d =0   (der Wendepunkt lautet W(-1|0), ich hatte mich zuvor vertippt)

f ' '(-1)=-6a+2b =0

f(0)=d = 8/3

f '(0)=c = -2

Ich weiß jetzt also schon mal c und d.

-1a + 1b + 14/3 =0

-6a + 2b             =0;

-a + b = -14/3

-6a+2b=0;   Muss ich jetzt das Additionsverfahren anweden? Und wenn ja, wie funktioniert das nochmal bei diesen Gleichungen? Dankeschön!!

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-1a + 1b + 14/3 =0  | * 2
-6a + 2b             =0

-2a + 2b = - 28/3

-6a + 2b =0
------------------------
-2a - ( -6a) + 2b - 2b = -28/3
4a = -28/3
a = -7/3

Einsetzen
-1 * ( -7/3 ) + 1b + 14/3 =0 
7/3 + b = -14/3
b = -7

f ( x ) = -7/3 * x^3 - 7 * x^2 - 2 * x + 8/3