Definitionsmenge bei Wurzelgleichung: √(5x+10) + x = -2?

Question

Huhu und hilfe!^^

Gesucht: Definitionsmenge

Meine Gleichung: $$ \sqrt { 5x+10 }  + x = -2 $$

Ist die Definitionsmenge dann: D = R\ {x < -2}

weil die wurzel nicht negativ werden darf?

Und in der Lösungsmenge darf dann nichts kleiner als -2 stehen?

Stimmt das so?

Comments

D = R\ {x < -2} für Defintionsbereich der Wurzel

kannst du auch schreiben als D={x | x≥ -2}

Answer 1

ja, so ist es!

√(5x + 10) + x = - 2 | - x

√(5x + 10) = - x - 2 = - (x + 2) | ()²

5x + 10 = x² + 4x + 4

x² -  x - 6 = 0 | pq

x_1,2 = 1/2 ± √(1/4 + 24/4) = 1/2 ± √(25/4) = 1/2 ± 5/2

x₁ = 3

x₂ = -2

Und jetzt sehen wir, dass x = -2 die einzige Lösung ist:

√25 - 3 = 5 - 3 = 2 ≠ -2

√(-10 + 10) - 2 = 0 - 2 = -2

Besten Gruß

Comments

Eine Frage hätte ich da noch:

Laut meiner Definitionsmenge dürfen doch alle reellen Zahlen außer jene, die kleiner sind als -2 eingesetzt werden.

D = R\ {x < -2}

3 ist jedoch größer als -2, das widerspricht sich doch?

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Nein, das widerspricht sich nicht, da 3 eben nicht kleiner als −2 ist!

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Gast hh185 hat Recht!

Außerdem kommt die 3 als Lösung ja ohnehin nicht in Frage, wie bei obiger Probe festgestellt :-)

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Ja, das meine ich doch auch...3 > -2

D = R\ {x < -2} 

Aber hier steht doch, dass ich alles einsetzen darf außer das was kleiner ist als -2.......-2 oder alle zahlen die größer sind als -2  (z.B. 3) dürfte ich doch laut dieser Definitionsmenge für x einsetzen. Jetzt steht 3 aber nicht in der Lösungsmenge, obwohl es größer ist als -2.....Oder interpretiere ich da was falsch?

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Das ist ja der Unterschied zwischen Definitionsmenge und Lösungsmenge!

Du darfst alles, was ≥ -2 ist, einsetzen (das ist die Definitionsmenge).

Das heißt aber doch nicht, dass alles, was ≥ - 2 ist, auch in die Lösungsmenge gehört; wir hatten 2 Kandidaten gefunden, die in der Definitionsmenge liegen, nämlich -2 und 3, und eventuell auch in die Lösungsmenge gehören.

Wir mussten aber wegen des vorgenommenen Quadrierens, welches keine Äquivalenzumformung ist, eine Probe machen, und in dieser schied 3 als Lösung aus (was nichts damit zu tun hatte, dass es zur Definitionsmenge gehört).

Deshalb blieb nur -2 als Lösung übrig.

Etwas deutlicher jetzt?

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Achso! Ich dachte,dass alles was in der Definitionsmenge liegt immer wahr ist , deshalb habe ich es nicht verstanden :/ Und sonst mache ich eigentlich auch nie eine Probe .

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Im Allgemeinen gilt

Definitionsmenge ≠ Lösungsmenge

:-)

Freut mich, wenn ich etwas helfen konnte!!

P.S.

Eine Probe empfiehlt sich immer, wenn man die Zeit dazu hat!

Answer 2

ja, das ist richtig :).

Grüße