Zeigen sie, dass die Menge höchstens abzählbar ist!

Question

Es seien (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und I eine beliebige Indexmenge. Für i€I seien B_i paarweise disjunkte Ereignisse. Zeigen sie, dass dann I₀ = ⟨i€I : P(A_i )>0⟩ höchtens abzählbar ist!

ich habe hier € als Elementsymbol und ⟨ als Mengenklammer benutzt.

Answer 1

auf einer kompakten Teilmenge \( I_k \) von \( I_0 \) können die durchweg offenen Elemente von \( I_0 \) zu einer endlichen Überdeckung von \( I_k \) ergänzt werden (Satz von Heine-Borel).

Als Teilmenge einer endlichen Überdeckung ist \( I_k \) endlich.

Da dies für beliebig große kompakte Teilmengen \( I_k \) von \( I_0 \) gilt, ist die Menge \( I_0 \) in der Grenze (\( |I_k| \rightarrow | I_0 | \)) höchstens abzählbar unendlich.

Mister

Comments

Ok. Das Problem ist, dass wir das nie behandelt haben. Ich weiß nicht mal was eine Überdeckung ist. Ist dieser Beweis vollständig oder eine Skizze?

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Naja, zu zeigen ist, dass die Elemente von \( I_0 \) offen sind. Dies ist ein Teil des Beweises, den man als nur skizziert bezeichnen kann.