Äquivalenzklassen und ihre bedeutung

Question

Folgende Aufgabe ich zum Teil schon gelöst, komme aber nicht weiter bei der Bedeutung der Äquivalenzklassen.
Auf ℤx(ℤ/(0)) sei eine Relation definiert durch (a,b) äquivalent zu (c,d) ⇔ad=bc. Ich soll zeigen, dass es ein ÄR ist, habe ich. Dann soll ich die Frage beantworten, welche Bedeutung die Äquivalnzklassen haben. Leider weis ich das  nicht, da ich nicht einmal verstehe, wie ich eine Äquivalenzklasse angebe. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Comments

Frage gabs schon vorgestern

https://www.mathelounge.de/167758/aquivalenzrelation-u-kls#a167783

Answer 1

Die alte Antwort ist aber vielleicht etwas knapp.
z.B. zeigen, dass es eine Äquivalenzrelation ist zerfällt in drei
Teile
1. reflexiv:    Du musst also zeigen: Jedes Zahlenpaar
steht mit sich selbst in dieser Relation
also (a;b) ~ (a;b) d.h. nach der Definition a*b =b*a was offenbar stimmt.
2. symmetrisch seien   (a;b) ~ (c;d)
dann gilt    a*d = b*c und
diese Gleichung sagt aber auch
                          (c;d) ~ (a;b)
3. transitiv    wenn (a,b) ~ (c;d)   und (c;d) ~ (e;f)
dann ist ad= bc                              und   cf  =  de
  zweite Gl z.B. nach c auflösen und in erste einsetzen gibt
               ad   =  b* (de/f)     alles mal f
            adf   =   bde    durch d
              af  =   be             also      (a;b) ~ (e;f)

Wie schon in der alten Lösung gesagt ist
besteht eine Äquivalenzklasse aus allen Paaren, die
zueinander äquivalent sind, also z.B    (2;3), (4/6) (20;30)   (14;21) etc.
Das sind sozusagen alle Paare (a;b), die als Bruch  a/b geschrieben den
gleichen Wert haben.
Jede Äquivalenzklasse repräsentiert sozusagen eine Bruchzahl