Permutation Gruppe G = Sym(5), Frage bzgl. Elementen

Question

Und zwar geht es um ein sogenanntes Fadendiagramm, bzgl. der Gruppe G = Sym(5).

Beispeil:       Dabei gehen die Fäden von Ziffer z links nach π(z) rechts
1--->3
2--->5
3--->2
4--->1
5--->4

symbolisiert π ∈ G mit    π(1) = 3, π(2) = 5, π(3) = 2, π(4) = 1, π(5) = 4.
Zwei Fadendiagramme sind äquivalent, wenn sie dieselbe Abbildung π darstellen.

Gibt jetzt ein paar Teilaufgaben zu denen ich Fragen habe. Ich fange mal mit der ersten an:

Begründen Sie, warum jedes Fadendiagramm, dass das neutrale Element id ∈ G symbolisiert, eine gerade Anzahl an Überkreuzungen hat.

Ich bin dabei etwas verwirrt. Im obigen Beispiel haben wir ja 5 Überkreuzungen oder? Wenn das neutrale Element enthalten wäre, könnte man es doch beliebig oft hinzufügen und somit eine gerade Anzahl erzwingen? Oder bin ich gerade vollkommen auf dem Holzweg?

Answer 1

symbolisiert π ∈ G mit    π(1) = 3, π(2) = 5, π(3) = 2, π(4) = 1, π(5) = 4.
Zwei Fadendiagramme sind äquivalent, wenn sie dieselbe Abbildung π darstellen.

Gibt jetzt ein paar Teilaufgaben zu denen ich Fragen habe. Ich fange mal mit der ersten an:

Begründen Sie, warum jedes Fadendiagramm, dass das neutrale Element id ∈ G symbolisiert, eine gerade Anzahl an Überkreuzungen hat.

Ich bin dabei etwas verwirrt. Im obigen Beispiel haben wir ja 5 Überkreuzungen oder? Wenn das neutrale Element enthalten wäre, könnte man es doch beliebig oft hinzufügen und somit eine gerade Anzahl erzwingen? Oder bin ich gerade vollkommen auf dem Holzweg?

Ich verstehe das eher so:  Wenn das Fadendiagramm das neutrale Element id ∈ G symbolisiert,

dann heißt das doch π(1) = 1, π(2) = 2, π(3) = 3, π(4) = 4, π(5) = 5.

Jetzt kann ich mir allerdings die Fäden nicht so genau vorstellen. Sind links 5 Punkte und rechts auch 5 und dann gehen die Fäden immer von x nach pi(x) ?