Hi Emre,
Du kannst einfach ein paar Ableitungen machen und versuchen zu erkennen, ob Du eine Gesetzmäßigkeit erkennst. Bei dem von Dir genannten Beispiel geht das besonders gut.
Es gilt doch die allgemeine Regel:
h(x) = x^n --> h'(x) = n*x^{n-1}
Da ist es natürlich nicht weit zu
g(x) = x^{-n} = 1/x^n --> g'(x) = -n/(x^{n+1})
Nachtrag:
Das kannst Du mal als Vorlage verwenden. Aber wohl besser: Einfach ein paar Ableitungen aufschreiben.
f(x) = ln(x)
f'(x) = 1/x
f''(x) = -1/x^2
f'''(x) = 2/x^3
f''''(x) = -6/x^4
f'''''(x) = 24/x^5
etc.
Es ergibt sich dadurch wohl etwas in der Grundgestalt:
f(n)(x) = ??/x^n
Weiter kann man sofort auch ein
f(n)(x) = (-1)^{n+1} ??/x^n
erahnen, denn das n, also der Grad der Ableitung sowie der Grad des Exponenten sind identisch. Zudem brauchen wir für jedes gerade n ein negatives Vorzeichen...erreicht durch (-1)^{n+1}.
Dann sollte man erkennen, dass sich die Zahlen selbst aus der Fakultät ergeben. Man kann also die Lücken immer weiter schließen.
f(n)(x) = (-1)^{n+1} * (n-1)!/x^n
Alles klar? Die Gedankengänge mal Schritt für Schritt dargelegt ;).
Grüße
