Zu 1): Genau, da nutzt man die Stetigkeit von \(f\).
Zu 2): \(n\geq k\) gilt nicht zwingend (hängt ja von \(k\) und \(n\) ab). Aber \(n_k \geq k\) gilt, da \( (x_{n_k}) \) eine Teilfolge von \( (x_n) \) ist. Das heißt nur, dass die Indizes \(n_1, \dots, n_k\) immer größer oder gleich \(1,\dots, k\) sind. Das folgt einfach aus der Definition von Teilfolgen, denn die Folge der Indizes \( (n_k)\) ist monoton steigend. Das ist eigentlich auch unwichtig, du sollst eben nur bemerken, dass \(n_k \longrightarrow \infty \) für \(k \rightarrow \infty \).
Zu der Sache mit der Teilfolge:
Die Folge \( (x_n) \) ist ja gerade so konstruiert, dass \(f(x_n) < \frac{1}{n} \). Die Existenz dieser Folge ist dadurch garantiert, dass wir das Gegenteil der zu zeigenden Behauptung angenommen haben. Ersetze einfach in der Ungleichung \(f(x_n) < \frac{1}{n} \) das \(n\) durch \(n_k\) und lass auf beiden Seiten \(k\) gegen unendlich gehen. Dann bekommst du wie gesagt einen Widerspruch.