Integralrechnung: ∫ t*cos(2πtf) dt

Question

Aufgabe:

\( \int \limits_{0}^{1} t \cdot \cos (2 \pi f t) d t=\left[\frac{\cos (2 \pi f t)}{(2 \pi f)^{2}}+\frac{t \cdot \sin (2 \pi f t)}{2 \pi f}\right]_{0}^{1}=\frac{\cos (2 \pi f)}{(2 \pi f)^{2}}+\frac{\sin (2 \pi f)}{2 \pi f}-\frac{1}{(2 \pi f)^{2}} \)

Ansatz/Problem:

Da ich wenig Ahnung von Integralrechnung habe, würde ich mich über eine Schritt-für-Schritt-Lösung freuen.

Comments

Schritt für Schritt kannst du die eckige Klammer in zwei drei Zeilen mit 'partieller Integration' erreichen.

Answer 1

Um ein Integral in dieser Art auszurechnen braucht man eine Stammfunktion.

Bei Produkten als Integrand hilft da häufig die sog. partielle Integration nach der Formel

$$\int { u*v'\quad =\quad u*v\quad -\quad \int { u'*v }  } $$

Jetzt nimmst du u= t und musst dann ja cos(2*pi*f*t) als v ' nehmen
dann ist u ' = 1 und v eine Funktion, deren Ableitung cos(2*pi*f*t) ergibt

Das klappt mit v(t) = 1/(2*pi*f) * sin(2*pi*f*t)

Denke bei der Überprüfung an die Kettenregel

Also wird aus deinem Integral:

$$ u*v\quad -\quad \int { u'*v } \\ = t*1/(2*pi*f)*sin(2*pi*f*t)-\int { 1*1/(2*pi*f)*sin(2*pi*f*t) } $$

Und für das letzte Integral brauchst du jetzt eine Stammfunktion für 1/(2*pi*f) * sin(2*pi*f*t)

Das ist - 1/(2*pi*f)^2 * cos (2*pi*f*t)

;it dem - vor dem Integral gibt das also insgesamt als Stammtfunktion für die anfangs betrachtete Funktion

t/(2*pi*f) * sin(2*pi*f*t)  + 1/(2*pi*f)^2 * cos (2*pi*f*t)

Das ist in umgekehrter Reihenfolge das, was bei deinem Skript in der eckigen Klammer steht.

Und um die eckige Klammer auszurechnen, musst du ja erst überall 1 für t einsetzen und dann überall o für t und das dann voneinander subtrahieren.