Okay,das ist etwas komisch zu erklären.
Am besten würde ich mich erstmal nicht so sehr auf die Bedeutung der Einheiten verstarren am Anfang. Das kann sehr verwirren.
Aber trotzdem erstmal was zu der Einheit m/s^2 .
Die Beschleunigung ist ja die Änderung der Geschwindigkeit .
(1).Die Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeit . Also m/s.
Die Beschleunigung ist ja somit die " Geschwindigkeit" der Geschwindigkeit .
(2)Also die Änderungsrate der Geschwindigkeit bzw. die Geschwindigkeit pro Zeit.
Setzen wir jetzt (2) in (1) ein erhalten wir.
Beschleunigung ist (Strecke pro Zeit) pro Zeit = m/s/s = m/s^2
Zum vielleicht etwas Anschaulicheren:
Bei einer beschleunigten Bewegung nimmt der Weg, wie du bereits gesagt hast, quadratisch zu.
Das heißt also, wenn ich ein Zeit-Strecke Diagramm habe und mir einen Wert für die Zeit(x-Achse) anschaue, so muss die Strecke dazu Quadratisch-Proportional sein.
Wenn ich die Strecke als Funktion der Zeit ausdrücken möchte, wächst die Strecke,wenn ich die Zeit um x erhöhe,um x^2.
Und ich habe ja eine Zeit -> Strecke Funktion( Kann man sich auch so klar machen : Strecke = f(t) ,
Zeit = t und ich habe eine Funktion die in der Art f(t) = t^2 aussieht.
Ist folgt also = Zeit^2 ~ Strecke = > s^2 ~ m