3. Aufgabe: Seien \( x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{C} . \) Zeigen Sie, dass die Determinante der Matrix
$$ \left(\begin{array}{cccc} {1+x_{1}} & {1+x_{1}^{2}} & {\cdots} & {1+x_{1}^{n}} \\ {1+x_{2}} & {1+x_{2}^{2}} & {\cdots} & {1+x_{2}^{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {1+x_{n}} & {1+x_{n}^{2}} & {\cdots} & {1+x_{n}^{n}} \end{array}\right) $$
gleich
$$ \prod \limits_{1\leq i<j \leq n}\left(x_{j}-x_{i}\right)\left(2 x_{1} \cdot \ldots \cdot x_{n}-\left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}-1\right) \cdot \ldots \cdot\left(x_{n}-1\right)\right) $$
ist.
Anleitung:
a) Erweitern Sie die Matrix zunächst durch eine Zeile, die nur aus den Einträgen 0 besteht und danach durch eine Spalte, die in der hinzugefügten Zeile eine 1 und sonst eine 0 als Eintrag hat, sodass sich die Determinante der Matrix nicht ändert.
b) Führen Sie dann geeignete Zeilen-und Spaltenoperationen durch, die die Determinante nicht ändern.
c) Verwenden Sie die Formel, die Sie zur Berechnung der Vandermonde-Determiante kennen.
wie kann ich das berechnen?
über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar :)
