Lage einer Geraden relativ zum Graphen einer quadratischen Funktion

Question

Prüfen Sie welche Lage die Gerade g relativ zum Graphen von f einnimmt.

f(x) = x² + 4x + 1

g(x) = 2ax, a>0

Answer 1

f(x) = x² + 4x + 1

g(x) = 2ax, a>0

x² + 4x + 1= 2ax
x^2 - 2ax + 4x = -1
x^2 + x *( 4 - 2a ) = -1  | pq-Formel oder quadr. Erg.
x^2 + x *( 4 - 2a ) + ( 2 - a)^2 = -1 + ( 2 - a)^2
( x + 2 - a )^2 = -1 + 4 - 4a + a^2
( x + 2 - a )^2 =  3 - 4a + a^2
x + 2 - a =  ± √ ( 3 - 4a + a^2 )
x =  a - 2 ± √ ( 3 - 4a + a^2 )

Es gibt 3 Möglichkeiten

√ ( 3 - 4a + a^2 ) = 0
-1 + ( 2 - a)^2  = 0
(2 - a)^2 = 1
2 - a = 1
a = 1
- ( 2 - a ) = 1
-2 + a = 1
a = 3

Bei a = 1 oder a = 3 gibt es 1 Schnittpunkt / Berührpunkt
bei x = a - 2

3 - 4a + a^2  > 0
Die Wurzel kann gezogen werden
2 Schnittpunkte sind vorhanden
x =  a - 2 ± √ ( 3 - 4a + a^2 )

3 - 4a + a^2  < 0
negativer Radikand
Die Wurzel kann nicht gezogen werden.
Es sind keine Schnittpunkte vorhanden.

Für den 2. bzw. 3.Fall kann a noch bestimmt werden.