Schnittstellen zweier Funktionen bestimmen: f: x -> -1/9x^4 + 14 sowie g: x -> x^2-4

Question

gegeben sind die Funktionen:

f: x -> -1/9x^4 + 14  sowie g: x -> x^2-4

Zu berechnen ist der Flächeninhalt beider Funktionen. Um das Integral ja überhaupt zu berechnen, muss ich ja erst einmal die Integrals-grenzen bestimmen. Dies geschieht durch die Nullstellenbestimmung:

f(x) = g(x)

-1/9x^4 + 14 = x^2-4

-1/9x^4 - x^2 +14 +4 = 0

-1/9x^4 - x^2 + 18    = 0

So, und hier weiß ich nicht weiter. Ich weiß (durch Raten) sowie durch die Skizze der beiden Funktionen, dass x1 = -3 ist und x2 = 3 ist. Die Schnittpunkte betragen demnach (3|5) für x2 und für x1 (-3|5).

Wenn mir jetzt einer Vorrechnen könnte, wie ich bei der Nullstellenbestimmung auf x=3 sowie x=-3 komme, wäre ich sehr Dankbar.

Bei mir kommt nur Käse raus und ich mache offensichtlich etwas bei der Nullstellenbestimmung komplett falsch.

Comments

"Zu berechnen ist der Flächeninhalt beider Funktionen. " Das macht keinen Sinn: Eine Funktion hat keinen Flächeninhalt.

Du meintest bestimmt:

"Zu berechnen ist die zwischen beiden Kurven eingeschlossene endliche Fläche. "

Da brauchst du die Nullstellen der beiden Funktionen gar nicht, was deiner Überschrift widerspricht. Oder sind das 2 Teilaufgaben?

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Es geht hier auch nicht um die Nullstellen der beiden einzelnen Funktionen, sondern um deren Schnittpunkte. Die entsprechen den Lösungen/Nullstellen der Gleichung f(x)=g(x) und diese werden von ihm gesucht ;) 

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EDIT: Überschrift entsprechend bearbeitet.

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Formulierung falsch gewählt.

Die Nullstellen werden benötigt um die Integralgrenzen zu bestimmen. Da es in der Aufgabe keine Bereiche gibt die man bestimmen soll, muss man diese ja selber finden. Die Lösung ist b = 3 und für a = -3

Das ist aber nicht das Problem. Der rechnerische Weg der Nullstellen bereitet mir Kopfzerbrechen.

Answer 1

Das Stichwort heißt Substitution..

Setze u:=x² und berechne dann die Nullstellen der quadratischen Gleichung..

Grüße

Comments

Ich weiß, nur Hilft mir das nicht weiter.

Wenn ich die Substitution anwende:

-1/9x^4 - x^2 +18 = 0        | x^4=z^2

erhalte ich:

x^2 - 9z  -162 =  0

Die PQ Formel

9/2 + √(9/2)^2 +162 

4,5 + √20,25 + 162 

4,5 + 13,5 = 18                    bzw.   4,5 - 13,5 = -9 

Eingesetzt in die Formel ergibt das nicht x=3 bzw. x=-3 

Wo liegt mein Fehler? Es wäre nett wenn es einer Vorrechnen könnte, ich sitz schon seit 3 Tagen an dieser dummen Nullstellenbestimmung und finde meinen Fehler/Denkfehler einfach nicht. 

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Achtung:

x² + 9z  -162 =  0 

Answer 2

Eine solche Gleichung löst du normalerweise mit Substitution. u=x². Dann hast du eine quadratische Gleichung die du mit der Mitternachtsformel lösen kannst ;)

Gruß
EmNero

Comments

Mit der Substitution löst du das folgendermaßen:

$$u={x}^{2}$$

$$-\frac { 1 }{ 9 } { u }^{ 2 }-u+18=0$$

Die Lösungsformel liefert u₁=9 und u₂=-18.

Dann einfach resubstituieren:

$$-18={ x}^{ 2 }$$

$$9={ x}^{ 2 }$$da (-3)²=9 und 3²=9

Die erste Gleichung liefert dir kein reelles Ergebnis, die zweite dahingegen -3 und 3.

Answer 3

Substitution wie in den andern Antworten vorgeschlagen passt immer. Alternative

-1/9x⁴ - x² + 18    = 0    | * (-9)

x^4 + 9x^2 + 162 = 0       |Faktorisieren (wenn du das mal gelernt hast)

Ansatz (x^2 +  .....)(x^2 - ......) = 0       | Wegen (-9 + 18) = 9 und -9*18 = 162 passt:

(x^2 +  18      )(x^2 -   9  ) = 0

Zwei Möglichkeiten

x^2 = -18     → Kein reelles x möglich.

x^2 = 9 → x1 = -3 und x2 = 3.

Comments

Wir beide kriegen 9 (ohne mein Vorzeichenfehler) und -18 heraus. 
So, wenn du mir jetzt erklärst, wie du von 9 auf 3 kommst, hast du meinen Tag gerettet :). 

Das einzigste Plausible, das mir einfällt, ist das du die Wurzel von 9 gezogen hast. 
Könntest du das veranschaulichen? Also wie dein Rechenweg war? Das scheint ja hier das fehlende Puzzlestück zu sein, zumindest in meinem Kopf. Die anderen Rechenschritte passen ja...

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Ich habe doch x^2 gefunden. Um x zu bekommen muss ich die Wurzel ziehen.

9 = x^2      | √

±3 = x

Bei - 18 geht das natürlich nicht.

Answer 4

Hi,

die Gleichung $$ -\frac{1}{9}x^4 - x^2 + 18 = 0  $$ löst man durch Substitution \( z = x^2 \).
Daraus folgt $$  -\frac{1}{9}z^2 - z + 18 = 0 $$ Umgeformt ergibt das
$$ z^2 + 9z - 162 = 0  $$ Die Lösungen sind
$$ z_{1,2} = -\frac{9}{2} \pm \sqrt{ \frac{81}{4} +162  } = -\frac{9}{2} \pm \frac{27}{2} $$
Rücksubstitution ergibt
$$ x^2 = -\frac{9}{2} \pm \frac{27}{2}  $$
Damit ergibt sich $$ x_{1,2} = \pm 3 $$ und $$ x_{3,4} = \pm i \sqrt{ 18 }  $$