$$ \int \, x \cdot \ln (x-1) \, dx $$
lässt sich zum Beispiel mit der partiellen Integration bearbeiten. Dazu zunächst Ableitungen und Stammfunktionen der Faktoren bilden und überlegen, wie man das günstig ansetzen könnte:
$$ \int \ln (x-1)\, dx =$$
$$ \int x\, dx =$$
$$ \frac{d\, \ln (x-1)}{dx} =$$
$$ \frac{d\, x}{dx} =$$