Dgl (x^3)y"+(x^2)y'= 1 via Substitution lösen

Question

(x^3)y"+(x^2)y'= 1

Guten Tag muss diese DGL lösen ich weiß dazu muss man substituieren aber keine Ahnung wie ich das mache :/

Mfg

Comments

Kommt da gar kein y vor?

Keine Ahnung, ob das was bringt. Aber warum nicht y' = z und y'' = z' ?

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Ja, diese Subst. führt zum Ziel ;).

Answer 1

Hi,
ich würde folgende Transformation machen
$$  t = ln(x) $$ und $$ y(x) = z(t) = z(ln(x)) $$
Dann gilt
$$  y' = z' \cdot \frac{1}{x} = z' \cdot e^{-t} $$
$$  y'' = z'' \cdot e^{-2t} - z' \cdot e^{-2t} $$
Eingesetzt in die Dgl. ergibt sich folgende Dgl. für \( z(t) \)
$$ z''(t) = e^{-t} $$ mit der Lösung
$$ z(t) = e^{-t}+C_1 \cdot t + C_2  $$ mit beliebigen Integrationskonstanten \( C_{1,2} \)
Die Rücktransformation ergibt folgende Lösung für \( y(x) \)
$$ y(x) = \frac{1}{x} + C_1 \cdot ln(x) + C_2 $$ was man durch einsetzten in die Dgl. überprüfen kann.