Integration (x+1)/(x^2+6x+9)

Question

Ich möchte gerne diesen Ausdruk integrieren: (x+1)/(x^2+6x+9)

wie kann dies denn geschehen ohne bitte x^2+6x+9 als Binomische Formel umzuschreiben.

Was ich damit meine, ich würde das gerne integrieren wollen ohne in eine Binomische Formel zu vereinfachen.

Welches Verfahren würde sich hierbei anbieten ?

Comments

Partialbruchzerlegung vllt? (Angaben ohne Gewähr)

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Warum willst du dir das denn antun? 

Vielleicht so:

(x+1)/(x²+6x+9)

=  (x+3)/(x²+6x+9) - 2/(x²+6x+9)

?

1. Teil: Subst. u = x^2 + 6x + 9.

EDIT: Emre: Gute Idee. Nur ohne den Binom zu erkennen könnte das schwierig sein. Problem: Nenner hat nur eine Nullstelle.

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Das ist ja fast ähnlich mit dem, was der Mathecoach schon beschrieben hatte, allerdings frage ich mich wie auch hier der erste Schritt zustande kommt, vgl zu Mathecoaches Antwort

Answer 1

Kleiner Tipp. Installier dir mal Wolframalpha für das Smartphone. Damit löst du sowas in Sekunden

Comments

Danke Mathecoach, nur warum und wie kommt denn der erste Schritt zustande ?

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(x + 1)/(x^2 + 6·x + 9)

Ich muss dafür sorgen, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht.

1/2 · (2·x + 2)/(x^2 + 6·x + 9)

1/2 · (2·x + 6 - 4)/(x^2 + 6·x + 9)

Nun Teil ich das in 2 Teile auf

1/2 · (2·x + 6)/(x^2 + 6·x + 9) - 1/2 · 4/(x^2 + 6·x + 9)

1/2 · (2·x + 6)/(x^2 + 6·x + 9) - 2/(x^2 + 6·x + 9)

Der Linke Teil lässt sich jetzt Integrieren indem der komplette Nenner substituiert wird. Der rechte Teil wird zunächst Faktorisiert und dann auch substituiert.

Den Rest entnimmst du der obigen Lösung.

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Okay das hilft mir schon etwas weiter, das 1/2 verwirrt mich gerade nur

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Ich verdoppel den Zähler. Das darf ich aber nicht tun ohne ihn nicht auch noch durch 2 zu teilen. Nur das das Teilen jetzt nicht direkt im Zähler steht.

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Das liegt wahrscheinlich daran, dass du mit beiden Brüchen wieder auf den ursprünglichen kommen musst oder?

Perfekt dann habe ich das kapiert. Die Sache war nämlich folgende, ich habe hier ein nettes Mathe Buch herumliegen "Papula" und da stand etwas bezüglich Brüche drin, leider ließ sich dies nur anwenden wenn die Ableitung des Nenners im Zähler steht, ist ja jetzt der Fall.

Wenn ich eine Gleichung dieser Art habe, darf ich dort denn immer so vorgehen, wie im ersten Schritt ?

Gibt es noch mehr solcher Aufgaben zum Trainieren ?

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Sind in dem Papula nicht auch Übungsaufgaben drin?

Du kannst unter 

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

Dir ein paar schöne Brüche generieren lassen. Die lassen sich dann auch schön über Partialbruchzerlegung integrieren.

Answer 2

Hi, wenn es unbedingt so sein soll, würde ich so anfangen:
$$ \int_{}^{} \frac {x+1}{x^2+6x+9} \,\text{d}x \\\,\\ = \frac 12\cdot\int_{}^{} \frac {2x+2}{x^2+6x+9} \,\text{d}x \\\,\\ = \frac 12\cdot\int_{}^{} \frac {2x+6-4}{x^2+6x+9} \,\text{d}x \\\,\\ = \frac 12\cdot\int_{}^{} \frac {2x+6}{x^2+6x+9} \,\text{d}x - 2\cdot\int_{}^{} \frac {1}{x^2+6x+9} \,\text{d}x \\\,\\ = \dots $$Das schreibe ich meist nicht so ausführlich hin, es soll hier aber deutlich machen, was beabsichtigt ist. Sinngemäß geht das immer, wenn der Nenner quadratisch und der Zähler linear ist.