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Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems und hat den Tiefpunkt T(1/-2). Wie lautet die Funktionsgleichung.

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Überlege, welche mathematischen Darstellungen aus den folgenden Teilaussagen abzuleiten sind:

ganzrationale Funktion dritten Grades

symmetrisch zum Ursprung

Tiefpunkt T(1/-2)

Nur wenn Du verstehst, wie man an solche Aufgaben herangeht, wirst Du sie auch allein in einer Prüfung bearbeiten können!

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Das ist mir so weit klar, aber ich weiß nicht was mir die Symmetrie verrät bzw. welche Formle dazu aufzustellen ist

wie weit ist Dir was klar ?

Punktsymmetrie bedeutet: $$f(x)=-f(-x)$$

Mit welcher Funktionsgleichung fängst du denn an ?

Ich hab zuerst die allgemeine Formel aufgestellt (ax^3+bx^2+cx+d)

Der Tiefpunkt bei x= 1.        f(1)=-2.     f'(1)= 0

Nur mir fehlen jetzt noch Formeln um das Gleichungssytem zu lösen

Ich hab zuerst die allgemeine Formel aufgestellt (ax3+bx2+cx+d)
$$ y(x)= ax^3+bx^2+cx+d $$
Ableitung davon allgemein:
$$ y'(x)= 3ax^2+2bx+c $$
bekannte Werte für x, y und y' in diese Gleichungen einsetzen.

---
Ja genau. Du hast Recht Wieso ist das so?

Reduktion infolge der Punktsymmetrie:  
Annahme: $$f(x)=-f(-x)$$
$$ f(x)= ax^3+bx^2+cx+d $$Einsetzen:
$$ax^3+bx^2+cx+d=-(a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x)+d)$$
$$ax^3+bx^2+cx+d=-(-a(x)^3+b(x)^2-c(x)+d)$$
$$ax^3+bx^2+cx+d=+a(x)^3-b(x)^2+c(x)-d$$
$$+bx^2+cx+d=-b(x)^2+c(x)-d$$
$$+2bx^2+cx+d=+c(x)-d$$
$$+2bx^2+d=-d$$
$$+2bx^2+2d=0$$
Die Gleichung kann nur gültig sein, wenn sowohl b als auch d Null sind.
Ist dies nicht der Fall, dann handelt es sich nicht um einen Polynom mit Punktsymmetrie!$$$$
(@Fachmathematiker: ich weiss, dass es noch weitere Fälle der Betrachtung geben könnte, die erwähne ich hier aber bewusst nicht)
$$$$
Bei Punktsymmetrie im Ursprung darf also angesetzt werden:
$$ y(x)= ax^3+0 \cdot x^2+cx+ 0 \cdot d $$
$$ y(x)= ax^3+cx $$

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Zuerst schauen, dass du nicht zu viele Unbekannte hast.

"dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems "

bedeutet. y = ax^3 + bx.

y' = 3a^2 + b

Mehr als 2 Unbekannte solltest du gar nicht in deinen Gleichungen haben.

Der Tiefpunkt bei x= 1.        f(1)=-2.     f'(1)= 0

(I) -2 = a*1 + b*1

(II) 0  =3a + b     

----------------------(II) - (I)

2 = 2a

a = 1. ==> b = -3.

f(x) = x^3 - 3x

Kontrolle: ~plot~x^3 - 3x ; x=1; -2~plot~

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Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems und hat den Tiefpunkt \(T(1|-2)\). Wie lautet die Funktionsgleichung?

Ich verschiebe den Graph um 2  Einheiten nach oben:

\(T(1|-2)\)→\(T´(1|0)\)  Hier ist eine doppelte Nullstelle:

\(f(x)=a(x-1)^2(x-N)\)

symmetrisch zum Ursprung bedeutet  Hochpunkt \(H(-1|2)\)→ \(H´(-1|4)\):

\(f(-1)=a(-1-1)^2(-1-N)=4a(-1-N)\)

\(4a(-1-N)=4\)→ \(a(-1-N)=1\)      → \(a=-\frac{1}{1+N}\)

\(f(x)=-\frac{1}{1+N}(x-1)^2(x-N)\)

Ursprung \(U(0|0)\)  → \(U´(0|2)\) :

\(f(0)=-\frac{1}{1+N}(0-1)^2(0-N)=\frac{N}{1+N}\)

\(\frac{N}{1+N}=2\)     →\(N=-2\)     \(a=-\frac{1}{1-2}=1\)

\(f(x)=(x-1)^2(x+2)\)

Nun 2 Einheiten nach unten:

\(p(x)=(x-1)^2(x+2)-2\)

Unbenannt.JPG

Avatar von 36 k
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f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
Punktsymmetrsch zum Ursprung  => nur ungerade Exponenten

f ( x ) = a * x^3 + c * x + d 
geht auch durch den Ursprung  => d = 0

f ( x ) = a * x^3 + c * x
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + c

f ( 1 ) = -2
f ´( 1 ) = 0

Den Rest müsstest du doch schaffen !

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"Nur ungerade Exponenten" führt zum Ansatz

f ( x ) = a * x^3 + c * x

d = 0 muss nicht extra hergeleitet werden!

georgborn: Denke dir

f ( x ) = a * x3 + b * x2 + c * x^1 + d * x^0
Punktsymmetrsch zum Ursprung  => nur ungerade Exponenten

f ( x ) = a * x3 + c * x

und du weisst direkt, dass d=0 ist. 

Georg,

Ich finde den Einwurf berechtigt. Wenn du erst schreibst nur ungerade Exponenten, dann ist es irreführend in der nächsten Zeile das d anzuführen.

Hallo Kofi,

über was für Haarspaltereien unterhalten wir uns eigentlich hier manchmal

Ich schreibe meine Antworten für den FRAGESTELLER und auf dessen
vermutetem Kenntnisstand. Der Fragesteller Nickiiii ist mir bekannt.

f ( x ) = a * x3 + b * x2 + c * x + d
Punktsymmetrisch zum Ursprung => nur ungerade Exponenten

f ( x ) = a * x3 + c * x + d

geht auch durch den Ursprung => d = 0
f ( x ) = a * x3 + c * x

ist für den Fragesteller ausreichend und nachvollziehbar.

Wenn ein Mitleser gerne eine Antwort in voller akademischer Strenge hätte
möge er diese selbst einstellen.

@Kofi

Ich finde den Einwurf berechtigt. Wenn du erst schreibst nur ungerade Exponenten,
dann ist es irreführend in der nächsten Zeile das d anzuführen.

Ich beschäftige mich jetzt mit dieser Problematik und meine dein
Einwand  stimmt nicht

Gegeben
Funktion 3.Grades
Wendepunkt ( 0 | 3 )
Punktsymmetrisch

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
Punktsymmetrisch => nur ungerade Exponenten möglich
f ( x ) = a * x^3 + c * x + d

Zu diesem Zeitpunkt darf das d noch nicht entfernt worden sein.

Denn angenommen es handelt sich aufgrund weiterer Informationen
um die Funktion
f ( x ) = x^3 + x + 3

Wäre die Entfernung von d doch falsch gewesen.

Irgendwo ein Denkfehler ?

In der Schule geht es bei der Kurvendiskussion meist nur um die Begrifflichkeit: Symmetrie zum Ursprung oder Symmetrie zur x-Achse.

Natürlich kannst du bei auch andere Symmetriezentren und Achsen anschauen.

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